最后更新: 2025-03-17 14:51 查看: 278 次反馈刷题

相关系数的通俗解释

## 相关系数的通俗解释

问题:考试砸了回到家，母亲打我的概率是 1/2，父亲打我的概率也是 1/2，那我被打的概率是多少

解答：你被打的概率与你爸妈行为之间的相关性密不可分。首先，为了建模，我们适当地对问题做以下简化假设：（1）仅关注挨打与否的概率，而暂不关注挨打的强度。也即只关注打没打，暂不关注挨几顿打，毕竟自己爸妈嘛，应该不至于往死里打。（2）假设你爸妈的行为之间仅存在线性相关性，而不存在复杂的非线性相关关系。线性相关程度则可通过相关性系数来描述。

记你挨打的概率为$P$，你爸妈行为之间的相关性系数为$\rho$

我们先看三种特殊ρ值的情况。

（1）假设 $\rho=0$ ，也即你爸是否打你和你妈是否打你两个随机变量 之间不存在线性相关性，由于我们先假设了两者之间不存在复杂的非线性相关关系，因此可以认为**两者相互独立**，那么问题其实就等价于＂抛两次硬币，求抛出至少一次反面的概率＂。显然地，你被打的概率等于 1 减去你不被打的概率，也即 $1-1 / 2^* 1 / 2=3 / 4$ ，也即 $75 \%$ 。
（2）假设 $\rho=1$ ，也即你爸妈的行为完全正相关，也就是完全趋同。如果其中一个打你，另外一个也会一起打你。如果其中一个放过你，另外一个也放过你。那么你被打的概率是 $1 / 2$ ，也即 $50 \%$ 。

（3）假设 $p=-1$ ，也即假设你爸妈的行为完全负相关，也就是完全反着来。如果其中一个打你，另外一个选择放过你。如果其中一个选择放过你，另外一个就一定打你。那么很遗憾，你被打的概率是 1，也即 $100 \%$ 。

假设 p 取 $[-1,1]$ 区间的其它值，就需要有 $P$ 关于 $\rho$ 的表达式，推理稍微有些复杂。但由于概率 $P$ 和相关性 $\rho$ 之间的线性关系（严格来说需要证明），而且根据上面三种特殊情况，已经明确的知道了直线上三个特殊点的坐标分别为 $(0,0.75)$ ，$(1,0.5)$ ，$(-1,1)$ 。通过其中任意两点可以推出 $P$ 关于 $\rho$ 的线性关系式为 $P=0.75-0.25 \rho$ 。

由于 $\rho$ 的取值范围是 $[-1,1]$ ，易得出概率 $P$ 的取值范围是 $[0.5,1]$ 区间。整体趋势而言是你爸妈的行为越趋同，你被打的概率越低。行为越趋反，你挨打的概率越高。

如果你爸妈平时感情很好总是夫唱妇随的话，你勇敢进家门就好了，好歹有约一半的概率不被打（当然也有约一半的概率遭遇男女混合双打）。如果他俩喜欢唱反调，或者总是喜欢红脸黑脸地演戏，你看下今晚能不能去爷爷奶奶家或者同学家借住一宿，但尽量别去网吧通宵。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：方差的性质

下一篇：相关系数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)