最后更新: 2025-06-19 08:11 查看: 318 次反馈同步训练

相关系数

## 相关系数的通俗解释

> 问题:考试砸了回到家，母亲打我的概率是 1/2，父亲打我的概率也是 1/2，那我被打的概率是多少

解答：你被打的概率与你爸妈行为之间的相关性密不可分。首先，为了建模，我们适当地对问题做以下简化假设：（1）仅关注挨打与否的概率，而暂不关注挨打的强度。也即只关注打没打，暂不关注挨几顿打，毕竟自己爸妈嘛，应该不至于往死里打。（2）假设你爸妈的行为之间仅存在线性相关性，而不存在复杂的非线性相关关系。线性相关程度则可通过相关性系数来描述。

**记你挨打的概率为$P$，你爸妈行为之间的相关性系数为$\rho$**

我们先看三种特殊ρ值的情况。

（1）假设 $\rho=0$ ，也即你爸是否打你和你妈是否打你两个随机变量 之间不存在线性相关性，由于我们先假设了两者之间不存在复杂的非线性相关关系，因此可以认为**两者相互独立**，那么问题其实就等价于＂抛两次硬币，求抛出至少一次反面的概率＂。显然地，你被打的概率等于 1 减去你不被打的概率，也即 $1-1 / 2^* 1 / 2=3 / 4$ ，也即 $75 \%$ 。
（2）假设 $\rho=1$ ，也即你爸妈的行为完全正相关，也就是完全趋同。如果其中一个打你，另外一个也会一起打你。如果其中一个放过你，另外一个也放过你。那么你被打的概率是 $1 / 2$ ，也即 $50 \%$ 。

（3）假设 $p=-1$ ，也即假设你爸妈的行为完全负相关，也就是完全反着来。如果其中一个打你，另外一个选择放过你。如果其中一个选择放过你，另外一个就一定打你。那么很遗憾，你被打的概率是 1，也即 $100 \%$ 。

假设 p 取 $[-1,1]$ 区间的其它值，就需要有 $P$ 关于 $\rho$ 的表达式，推理稍微有些复杂。但由于概率 $P$ 和相关性 $\rho$ 之间的线性关系（严格来说需要证明），而且根据上面三种特殊情况，已经明确的知道了直线上三个特殊点的坐标分别为 $(0,0.75)$ ，$(1,0.5)$ ，$(-1,1)$ 。通过其中任意两点可以推出 $P$ 关于 $\rho$ 的线性关系式为 $P=0.75-0.25 \rho$ 。

由于 $\rho$ 的取值范围是 $[-1,1]$ ，易得出概率 $P$ 的取值范围是 $[0.5,1]$ 区间。整体趋势而言是你爸妈的行为越趋同，你被打的概率越低。行为越趋反，你挨打的概率越高。

如果你爸妈平时感情很好总是夫唱妇随的话，你勇敢进家门就好了，好歹有约一半的概率不被打（当然也有约一半的概率遭遇男女混合双打）。如果他俩喜欢唱反调，或者总是喜欢红脸黑脸地演戏，你看下今晚能不能去爷爷奶奶家或者同学家借住一宿，但尽量别去网吧通宵。

## 相关系数的定义与性质
定义  设 $(X, Y)$ 为二维随机变量，$D(X)>0, D(Y)>0$ ，称

$$
\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}}
$$

为随机变量 $X$ 和 $Y$ 的相关系数（Correlation Coefficient）或标准协方差（Standard Covariance）。记为 $\rho_{X Y}$ ，即

$$
\rho_{X Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X) D(Y)}}
$$

在不引起混淆的情况下，有时也记 $\rho_{X Y}$ 为 $\rho$ 。
下面给出相关系数 $\rho_{X Y}$ 的几条重要性质，并说明 $\rho_{X Y}$ 的含义．

性质1 $\left|\rho_{X Y}\right| \leqslant 1$ ．
性质2 若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $\rho_{X Y}=0$ ．
性质3 $\left|\rho_{X Y}\right|=1$ 的充要条件是存在常数 $a, b(a \neq 0)$ ，使 $P\{Y=a X+b\}=1$ ，而且当 $a>0$时，$\rho_{X Y}=1$ ；当 $a<0$ 时，$\rho_{X Y}=-1$ ．

由协方差的性质及相关系数的定义可知性质2 成立，性质3 的证明较复杂，从略．下面仅证明性质1．

证明 对任意实数 $t$ ，有

$$
\begin{aligned}
D(Y-t X) & =E[(Y-t X)-E(Y-t X)]^2=E[(Y-E(Y))-t(X-E(X))]^2 \\
& =E[Y-E(Y)]^2-2 t E[Y-E(Y)][X-E(X)]+t^2 E[X-E(X)]^2 \\
& =t^2 D(X)-2 t \operatorname{Cov}(X, Y)+D(Y) \\
& =D(X)\left[t-\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{D(X)}\right]^2+D(Y)-\frac{[\operatorname{Cov}(X, Y)]^2}{D(X)}
\end{aligned}
$$

令 $t=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{D(X)}=b$ ，于是

$$
D(Y-b X)=D(Y)-\frac{[\operatorname{Cov}(X, Y)]^2}{D(X)}=D(Y)\left[1-\frac{[\operatorname{Cov}(X, Y)]^2}{D(X) D(Y)}\right]=D(Y)\left(1-\rho_{X Y}^2\right)
$$

由于方差不能为负，所以 $1-\rho_{X Y}^2 \geqslant 0$ ，从而 $\left|\rho_{X Y}\right| \leqslant 1$ ．

注意：相关系数 $\rho_{X Y}$ 刻画了随机变量 $Y$ 与 $X$ 之间的＂线性相关＂程度．$\left|\rho_{X Y}\right|$ 的值越接近 $1, Y$ 与 $X$ 的线性相关程度越高；$\left|\rho_{X Y}\right|$ 的值越接近 $0, Y$ 与 $X$ 的线性相关程度越弱。当 $\left|\rho_{X Y}\right|=1$时，$Y$ 与 $X$ 的变化可完全由 $X$ 的线性函数给出，即 $X$ 与 $Y$ 存在着**完全线性关系**，是一种极端情况；当 $\rho=1$ 时，称为**完全正相关**；当 $\rho=-1$ 时，称为**完全负相关**；当 $\rho_{X Y}=0$ 时，$Y$ 与 $X$之间不是线性关系，是另一种极端情况。

当 $\rho_{X Y}=0$ 时，称 **$X$ 与 $Y$ 不相关**，由性质 4．3．2 可知，当 $X$

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