最后更新: 2025-06-19 08:07 查看: 328 次反馈同步训练

协方差

> 前面讨论的随机变量的数学期望和方差是判断随机现象性质十分重要的指标，但它们仅仅反映了各自的平均值与偏离平均值的程度. 对多维随机变量而言，人们还关心随机变量之间的关系. 在实际问题中，每对随机变量往往相互影响、相互联系. 例如，人的体重与身高；某种产品的产量与价格等. 随机变量的这种相互联系称为相关关系，它们也是一类重要的数字特征，本节讨论二维随机变量有关这方面的数字特征.

## 协方差
设 $(X, Y)$ 为二维随机向量，若

$$
E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}
$$

存在，则称其为随机变量 $X$ 和 $Y$ 的协方差（Covariance），记为 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ，即
 
$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}
$$

若 $(X, Y)$ 为离散型随机向量，其概率分布为

$$
P\left\{X=x_i, Y=y_j\right\}=p_{i j} \quad i, j=1,2, \cdots,
$$

则

$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\sum_i \sum_j\left[x_i-E(X)\right]\left[y_j-E(Y)\right] p_{i j}
$$

若 $(X, Y)$ 为连续型随机向量，其概率分布为 $f(x, y)$ ，则

$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}\{[x-E(X)][y-E(Y)]\} f(x, y) d x d y
$$

此外，由协方差定义和数学期望的性质可得以下有用的计算公式

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}(X, Y) & =E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} \\
& =E(X Y)-E(X) E(Y)-E(Y) E(X)+E(X) E(Y) \\
& =E(X Y)-E(X) E(Y)
\end{aligned}
$$

特别地，当 $X$ 与 $Y$ 独立时，有 $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$ ．

`例` 已知离散型随机向量( X,Y ) 的概率分布为 
 ![图片](/uploads/2025-06/6af5cd.jpg)
 
 求 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．
解 容易求得 $X$ 的概率分布为 $P\{X=0\}=0.3, P\{X=1\}=0.45, P\{X=2\}=0.25$ ； $Y$ 的概率分布为 $P\{Y=-1\}=0.55, P\{Y=0\}=0.25, P\{Y=2\}=0.2$ ，
于是有

$$
\begin{gathered}
E(X)=0 \times 0.3+1 \times 0.45+2 \times 0.25=0.95 \\
E(Y)=(-1) \times 0.55+0 \times 0.25+2 \times 0.2=-0.15
\end{gathered}
$$

计算得 $E(X Y)=0 \times(-1) \times 0.1+0 \times 0 \times 0.2+0 \times 2 \times 0+1 \times(-1) \times 0.3+1 \times 0 \times 0.5+1 \times 2 \times 0.1+$

$$
2 \times(-1) \times 0.15+2 \times 0 \times 0+2 \times 2 \times 0.1=0 .
$$

于是

$$
\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)=0.95 \times 0.15=0.1425 .
$$

`例` 设 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
x+y, & 0<x<1,0<y<1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text {, }
$$

求 $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ．
解 由于 $f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+\frac{1}{2}, & 0<x<1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}, \quad f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}y+\frac{1}{2}, & 0<y<1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.\right.$ ，

$$
E(X)=\int_0^1 x\left(x+\frac{1}{2}\right) d x=\frac{7}{12}
$$

$$
\begin{gathered}
E(Y)=\int_0^1 y\left(y+\frac{1}{2}\right) d y=\frac{7}{12} \\
E(X Y)=\int_0^1 \int_0^1 x y(x+y) d x d y=\int_0^1 \int_0^1 x^2 y d x d y+\int_0^1 \int_0^1 x y^2 d x d y=\frac{1}{3} \\
\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)=\frac{1}{3}-\frac{7}{12} \times \frac{7}{12}=-\frac{1}{144}
\end{gathered}
$$

因此

## 协方差的性质
定理  设随机变量 $X 、 Y$ 的方差存在，则
（1） $\operatorname{Cov}(X, X)=D(X)$ ；
（2） $\operatorname{Cov}(X, Y)=\operatorname{Cov}(Y, X)$ ；
（3） $\operatorname{Cov}(a X,

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