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阅读：拉普拉斯变换的本质意义

## 发明者
奥列弗.赫维赛德，维多利亚时期英国人，全靠自学，听力残疾。很多人熟悉赫维赛德是因为MATLAB有一个赫维赛德（Heaviside）函数

![图片](/uploads/2025-08/0bd000.jpg)

赫维赛德简化了麦克斯韦方程组：即变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场。让20个方程组便成了4个。
＊＊赫维赛德另一个贡献就是我们今天要说的运算微积分－它可以将常微分方程转换为普通代数方程。＊＊赫维赛德是怎么解微分方程的呢？他把微分、积分运算用一个简单的算子来代替。
——微分算子用 $p$ 来表示，

$$
p \leftrightarrow \frac{d()}{d x}
$$

——高阶微分算子为，

$$
p^n \leftrightarrow \frac{d^n()}{d t^n}
$$

——积分算子符号用 $\frac{1}{p}$ 表示，

$$
\frac{1}{p}() \leftrightarrow \int_{-\infty}^t() d \tau
$$

也就是说，在某种算子下，积分和微分对应的是倒数关系，至于算子 p 代表什么，赫维赛德也没有多解释，在缺乏严密数学基础的情况下，人家直接放在文章就用了，还发表了。比如常见的一个二阶常微分方程，

$$
m \frac{d^2 x}{d t}+c \frac{d x}{d t}+k x=0
$$

如果用赫维赛德的微分算子变换一下，就变成了代数表达式。

$$
m p^2+c p+k=0
$$

赫维赛德之所以这么做，是因为他的＂物理直觉＂告诉他这么做，就是这么硬。这显然是一种开外挂的行为，因此也受到当时的主流数学家们们的攻讦，他们认为赫维赛德就是十足的＂民科＂，文章没什么理论依据，自己在那空想呢。当然，赫维赛德也不是弱鸡，科学家怼起人来，也是毫不含糊：＂因为我不能理解消化过程就拒绝晚餐吗？不，只要我满意这个结果。＂
好了，扯了那么远，有童鞋已经不耐心了：这些和拉普拉斯变换有什么关系？谜底就是：赫维赛德的微积分算子，就是拉普拉斯变换的前身。

## 傅里叶变换（轻量版拉普拉斯变换）

在说拉普拉斯变换以前，我们要先提一下傅里叶变换，这可以看成是轻量版的拉普拉斯变换。傅里叶变换说的是什么事？说的是自然界的很多现象，都可以用三角函数进行分解。

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