最后更新: 2025-01-20 14:12 查看: 260 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

Laplace变换的引入

## Laplace变换的引入

### Fourier变换的 “局限性”？

- 当函数 $f(t)$ 满足 Dirichlet 条件, 且在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积时, 便可以进行古典意义下的 Fourier变换。
- 由于绝对可积是一个相当强的条件，使得一些简单函数 (如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等) 的 Fourier 变换也受到限制。
- 广义 Fourier变换的引入, 扩大了古典 Fourier 变换的适用范围, 使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier变换, 而且将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。
- 广义Fourier 变换对以指数级增长的函数如 $\mathrm{e}^{a t}(a>0)$ 等仍然无能为力; 而且在变换式中出现冲激函数，也使人感到不太满意。
- 在工程实际问题中, 许多以时间 $t$ 为自变量的函数 (比如起始时刻为零的因果信号等) 在 $\boldsymbol{t}<\mathbf{0}$ 时为零, 而有些甚至在 $\boldsymbol{t}<\mathbf{0}$ 时根本没有意义。
- 因此在对这些函数进行 Fourier 变换时，没有必要(或者不可能)在整个实轴上进行。

### 如何对 Fourier 变换要进行改造？
基本想法
（1）将函数 $f(t)$ 乘以一个单位阶跃函数 $u (t)$ ，使得函数在 $t<0$ 的部分补零（或者充零）；
（2）将函数再乘上一个衰减指数函数 $e ^{-\beta t}(\beta>0)$ ，使得函数在 $t > 0$ 的部分尽快地衰减下来。
 这样，就有希望使得函数 $f(t) \cdot u(t) \cdot e ^{-\beta t}$ 满足 Fourier变换的条件，从而对它进行 Fourier 变换。
 
### 实施结果

$$
\begin{aligned}
F \left[f(t) u(t) e^{-\beta t}\right] & =\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) u(t) e^{-\beta t} e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_0^{+\infty} f(t) e^{-(\beta+j \omega) t} d t
\end{aligned}
$$

将上式中的 $\beta+j \omega$ 记为 $s$ ，就得到了一种新的变换：

$$
\int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t \xlongequal{\text { 记为 }} F(s) \text {. }
$$

注意 上述广义积分存在的关键：
变量 $s$ 的实部 $\operatorname{Re} s=\beta$ 足够大。

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