最后更新: 2025-01-20 14:17 查看: 290 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

Laplace 变换的定义

## Laplace 变换的定义

设函数 $f(t)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的实值函数，如果对于复参数 $s=\beta+j \omega$ ，积分 $F(s)=\int_0^{+\infty} f(t) e ^{-s t} d t$ 在复平面 $s$ 的某一区域内收敛，则称 $F(s)$ 为 $f(t)$ 的 Laplace 变换或像函数，记为 $F(s)= L [f(t)]$ ，即

$$
\boxed{
F(s)= L [f(t)]=\int_0^{+\infty} f(t) e^{-s t} d t
}
$$

相应地，称 $f(t)$ 为 $F(s)$ 的 Laplace 逆变换或像原函数，记为 $f(t)= L ^{-1}[F(s)]$ ．

> 注 $f(t)$ 的Laplace 变换就是 $f(t) u(t) e ^{-\beta t}$ 的 Fourier 变换。

`例`

$$
\begin{aligned}
& L [1]=\int_0^{+\infty} 1 \cdot e^{-s t} d t=\left.\frac{1}{-s} e^{-s t}\right|_0 ^{1+\infty}=\frac{1}{s}, (L e s>0) \\
& L [u(t)]=\int_0^{+\infty} u(t) e^{-s t} d t=\int_0^{+\infty} 1 \cdot e^{-s t} d t=\frac{1}{s}, \\
& (L e s>0) \\
& L [\operatorname{sen} t]=\int_0^{+\infty} \operatorname{sgn} t e^{-s t} d t=\int_0^{+\infty} 1 \cdot e^{-s t} d t=\frac{1}{s}, \quad(\operatorname{Re} s>0) \\
& L \left[e^{a t}\right]=\int_0^{+\infty} e^{a t} e^{-s t} d t=\left.\frac{1}{a-s} e^{(a-s) t}\right|_0 ^{+\infty}=\frac{1}{s-a}, \quad(\operatorname{Re} s>\operatorname{Re} a)
\end{aligned}
$$

要点 进行积分时，确定 $s$ 的取值范围，保证积分存在。

从上述例子可以看出
  (1) 即使函数以指数级增长，其 Laplace 变换仍然存在;
  (2) 即使函数不同，但其 Laplace 变换的结果可能相同。

## 存在性定理
问题 
(1) 到底哪些函数存在 Laplace 变换呢?
若存在, 收玫域(或者存在域)如何? 有何特点?
(2) Laplace 逆变换如何做? 是否惟一?

**存在性定理**
定理 设函数 $f(t)$ 当 $t \geq 0$ 时, 满足:
(1) 在任何有限区间上分段连续;
(2) 具有有限的增长性,
即存在常数 $c$ 及 $M>0$, 使得 $|f(t)| \leq M \mathrm{e}^{c t}$, (其中, $c$ 称为函数 $f(t)$ 的 “增长” 指数)。
则象函数 $\boldsymbol{F}(s)$ 在半平面 $\operatorname{Re} s>c$ 上一定存在且解析。证明 (略)

两点说明
  (1) 像函数 $F(s)$ 的存在域一般是一个右半平面 $\operatorname{Re} s>c$,即只要复数 $s$ 的实部足够大就可以了。
 因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域，只有在非常必要时才特别注明。
  (2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 $\boldsymbol{t}<0$ 时为零,即函数 $f(t)$ 等价于函数 $f(t) u(t)$.
  
  比如 $\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s}\right]=1$.

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