最后更新: 2025-05-22 11:17 查看: 414 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录2：k阶矩是与矩母函数是什么意思

### 引言
在介绍$k$截距之前，我们先引用前面说过的[泰勒公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304) 的意义。泰勒展开式本质是多项式逼近，也就是说，我们可以使用低次到高次的多项式累加来**拟合**函数 $f(x)$ 在某个点邻域的函数值。比如在$x$趋于零时，用$x$拟合$sin x$。  当时给出一个结论：**高阶导数越多，拟合的曲线越好**。我们把这种思想搬到$k$阶矩上来，有兴趣的同学请点击 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304)

## 如何理解$k$阶矩的意思？

先看其定义： 设 $X$ 为随机变量, $k$ 为正整数. 如果以下的数学期望都存在, 则称
$$ \boxed{
\mu_k=E\left(X^k\right)  ...(1)
}
$$

为 $X$ 的 $k$ 阶**原点矩**. 称

$$
\boxed{
\nu_k=E(X-E(X))^k ...(2)
}
$$

为 $X$ 的 $k$ 阶**中心矩**。

整个定义有点抽象，我们一层层分析，首先定义说，$k$为正整数，也就是k可以取1,2,3,4,5... ，那我们就先取$k=1$和$k=2$带入看看

## 1阶矩和2阶矩
把$k=1$ 带入(1) 可以得到
$u_1=E(X)$ ,这不就是**期望**吗？

把$k=2$ 带入(2) 中心矩
$\nu_2=E(X-E(X))^2$ **方差**吗？

现在举一个例子：一个学校有1000名男生，我要估算整个学校里男生的平均身高，毫无疑问，这些身高肯定有一个真实值，假设全校男生平均真实身高为 $X=170cm$(我们现在不知道), 现在我随机从班里抽取10个男生，然后统计这10个男生的平均身高为$\bar{X}=168cm$,此时我宣布：全校男生身高是$168cm$，这可以认为为1阶原点矩。 但是，在抽取样本时，我们会有一个直观的感受，就是抽取这10个男生，最好身高都差不多，如果抽取的这10个男生，9个差不多高，另外一个非常高或者非常矮，那么这有可能使得抽的**样本失真**，此时就需要从另外一个**维度**：方差来分析这些数据，**方程反映数据的波动程度**。

到这里你大概就理解1阶矩，2阶矩，3阶矩...n截距的作用了，这个就类似泰勒展开式，比如
$$
 \mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{n!} x^n+o\left(x^n\right)
$$
我要求$e^{0.01}$，
①如果你想提高精度，你可以取
$e^{0.01} =1 $
②如果你再想提高精度，你可以取
$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}$
③如果你再想提高精度，你可以取
$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{n!}$
具体取到那一阶，由实际情况决定。k阶矩类似，通过1阶，2阶，3阶，4阶等，让估计值越来越接近真实值。

> 注意：当说“中心矩”时，既然有**中心**两字，那以谁为中心（比如坐标轴通常以0为中心）？那答案就是 $E(X)$为中心，也就是中心矩是以期望为中心。因此，一阶原点矩的中心矩为0.

## 3阶矩 和 4 截距
### 3阶矩
$k$阶矩基 本上最多使用到3阶和4阶，  设随机变量 $X$ 的前三阶矩存在, 则比值

$$
\beta_s=\frac{\nu_3}{\nu_2^{3 / 2}}=\frac{E(X-E(X))^3}{[\operatorname{Var}(X)]^{3 / 2}}
$$

称

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