最后更新: 2024-12-10 21:29 查看: 280 次反馈刷题

附录2：k阶矩是什么意思

### 引言
在介绍$k$截距之前，我们先引用前面说过的[泰勒公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304) 的意义。泰勒展开式本质是多项式逼近，也就是说，我们可以使用低次到高次的多项式累加来**拟合**函数 $f(x)$ 在某个点邻域的函数值。比如在$x$趋于零时，用$x$拟合$sin x$。  当时给出一个结论：**高阶导数越多，拟合的曲线越好**。我们把这种思想搬到$k$阶矩上来，有兴趣的同学请点击 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=304)

## 如何理解$k$阶矩的意思？

先看其定义： 设 $X$ 为随机变量, $k$ 为正整数. 如果以下的数学期望都存在, 则称
$$ \boxed{
\mu_k=E\left(X^k\right)  ...(1)
}
$$

为 $X$ 的 $k$ 阶**原点矩**. 称

$$
\boxed{
\nu_k=E(X-E(X))^k ...(2)
}
$$

为 $X$ 的 $k$ 阶**中心矩**。

整个定义有点抽象，我们一层层分析，首先定义说，$k$为正整数，也就是k可以取1,2,3,4,5... ，那我们就先取$k=1$和$k=2$带入看看

## 1阶矩和2阶矩
把$k=1$ 带入(1) 可以得到
$u_1=E(X)$ ,这不就是**期望**吗？

把$k=2$ 带入(2) 中心矩
$\nu_2=E(X-E(X))^2$ **方差**吗？

现在举一个例子：一个学校有1000名男生，我要估算整个学校里男生的平均身高，毫无疑问，这些身高肯定有一个真实值，假设全校男生平均真实身高为 $X=170cm$(我们现在不知道), 现在我随机从班里抽取10个男生，然后统计这10个男生的平均身高为$\bar{X}=168cm$,此时我宣布：全校男生身高是$168cm$，这可以认为为1阶原点矩。 但是，在抽取样本时，我们会有一个直观的感受，就是抽取这10个男生，最好身高都差不多，如果抽取的这10个男生，9个差不多高，另外一个非常高或者非常矮，那么这有可能使得抽的**样本失真**，此时就需要从另外一个**维度**：方差来分析这些数据，**方程反映数据的波动程度**。

到这里你大概就理解1阶矩，2阶矩，3阶矩...n截距的作用了，这个就类似泰勒展开式，比如
$$
 \mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{n!} x^n+o\left(x^n\right)
$$
我要求$e^{0.01}$，
①如果你想提高精度，你可以取
$e^{0.01} =1 $
②如果你再想提高精度，你可以取
$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!}$
③如果你再想提高精度，你可以取
$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{1}{2!} x^2+\cdots+\frac{1}{n!}$
具体取到那一阶，由实际情况决定。k阶矩类似，通过1阶，2阶，3阶，4阶等，让估计值越来越接近真实值。

> 注意：当说“中心矩”时，既然有**中心**两字，那以谁为中心（比如坐标轴通常以0为中心）？那答案就是 $E(X)$为中心，也就是中心矩是以期望为中心。因此，一阶原点矩的中心矩为0.

## 3阶矩 和 4 截距
### 3阶矩
$k$阶矩基 本上最多使用到3阶和4阶，  设随机变量 $X$ 的前三阶矩存在, 则比值

$$
\beta_s=\frac{\nu_3}{\nu_2^{3 / 2}}=\frac{E(X-E(X))^3}{[\operatorname{Var}(X)]^{3 / 2}}
$$

称为 $X$ (或分布) 的偏度系数。简称偏度. 当 $\beta_s>0$ 时, 称该分布为正偏, 又称右偏; 当 $\beta_s<$ 0 时,称该分布为负偏, 又称左偏.

偏度 $\beta_{ s }$ 是描述**分布偏离对称性程度的**一个特征数。

![图片](/uploads/2024-11/ad94e0.jpg)
 
 ### 4 阶矩
 设随机变量 $X$ 的前四阶矩存在, 则

$$
\beta_k=\frac{\nu_4}{\nu_2^2}-3=\frac{E(X-E(X))^4}{[\operatorname{Var}(X)]^2}-3
$$

称为 $X$ (或分布) 的峰度系数,简称峰度)
峰度是描述分布尖蛸程度和（或）尾部粗细的一个特征数。
 ![图片](/uploads/2024-11/76fc47.jpg)
 
 
> 因此，通过 1阶矩、2阶矩、3阶矩、4阶矩，参考上面引言介绍的泰勒公式，我们有理由相信，如果一直到$k$阶参数，可以很好的控制真实值和样本值之间的误差。这就是$k$阶矩的作用。

**一阶原点矩**，即均值，也是大众理解的那个「平均」——衡量数据的平均水平。
**二阶中心距**，方差，衡量数据的离散/集中程度，也就是数据的「平均程度」。（这个表述不是很好，请大家脑补体会一下我的真实意思……）
**二阶原点矩**，  ，衡量数据被「移动至平均位置」需要的「平均能量」。相当于物理中的惯性矩。
**三阶中心矩**，偏度，衡量偏离中心的点的位置情况，也就是偏离中心的点的平均水平（正负、大小）。放到分布图像上看，就是均值和中位数之间的距离，也就是数据分布的对称性——对称分布偏度为零。
**四阶中心矩**，峰度，俗称「方差的方差」，衡量偏离中心的点的密集程度。是俗话说的「尖峰厚尾」的理论基础。

### 再来理解
重尾程度，或者说概率P(x) 是否随着值 x 的增大急速地减少。

在研究一个分布的时候，我们很多时候可能会对极大值特别的敏感。比如说，我是一个小型公司的老板，收到了一份这样的风险分析， 0.1 的概率赔 10 万， 0.05 的概率赔 20 万，等等。这些数字我大概都是一扫而过，因为这些钱我完全赔的起。但假如说我看到了一个 0.001 的概率赔 1000 万，我估计眼睛就瞪圆了。虽然说 0.001 不算是一个大的概率，但是赔这么多钱我们公司可能就破产了。

所以说，对于特别大的值，光是概率小是不够的，我们可能需要概率非常非常小。由于画图时这些极大值会出现在图像的边界，我们称这些极大值为分布的尾部。

比如，下图是我们熟悉的高斯分布。尾部就是出现在图像的边缘。但是提到尾部，我建议不要想到 4，5个标准开外，而是去想象几十个甚至更多标准开外

![图片](/uploads/2024-11/7a1009.jpg){width=300px}

> 注意1：虽然理论上可有k阶，k可以无限制取值，但是在实际使用时，超过4阶的基本上就不在使用。

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