最后更新: 2026-01-07 20:36 查看: 699 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录1：置信区间与上a分位数

## 正态分布表的使用

在介绍标准正态分布 $x \sim N(0,1)$时提到，

标准正态分布**密度函数图像**
 ![图片](/uploads/2024-11/ed5d5a.jpg){width=550px}
 
标准正态分布的**密度函数图像**的意义
 ![图片](/uploads/2024-11/3d5c4f.jpg){width=550px}
 
 从上面两个图里可以知道正态分布有如下性质:

**性质1**. 概率密度函数图像是关于 $x=0$ 对称的，根据函数的奇偶性，所以 $\varphi_0(-x)=\varphi_0(x)$;

**性质2** 概率密度函数图像在 $x=0$ 处达到极大（参考密度函数图像，很容易理解）；

**性质3** 分布函数有性质 $\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$.

> 请务必牢记分布函数的定义，分布函数$F(X)=P(X \leqslant x)$他是一个累加值。比如考试分$F(90)=P(X<90)=80$ 表示分数小于90分的人数为80人，$F(60)=P(X<60)=20$ 表示分数小于60分的人数为20人， 现在要求分数在$60-90$之间的人数，显然就是$F(90)-F(60)=80-20=60$人，分布函数求导就是密度函数，密度函数积分就是分布函数。而积分的本质就是求面积，所以密度函数曲线围成的整个面积就是所有的概率为1.通常认为分布函数的作用用来计算密度函数，单纯看分布函数图像其实看不出多少有价值的东西。数学上的表达就是密度函数在区间$（a， b）$上的积分。所以，概率的大小就是“概率密度函数曲线下的面积”的大小，这个不太起眼的概念实际上就决定了你日后是否能理解假设检验中所谓的“拒绝域”。

性质3可以通过正态密度函数的积分进行计算，但是我们准备从密度函数的图像上来解释一下$\Phi_0(-x)=1-\Phi_0(x)$的意义。
根据分布函数的定义，他表示的是概率的累加值，而所有概率的可能性为100%,所以分布函数的整体值就是1。也就是说，密度函数曲线下所围成的总面积为1.

`例`求$\Phi_0(-2)$
解：
**STEP1** 要求$\Phi_0(-2)$，根据分布函数的定义即是求$\Phi_0(-2)=P(X \le -2)$ ，也就是求红色区域的面积。

![图片](/uploads/2024-11/5ae1e8.jpg){width=400px}

**STEP2** 很遗憾，从正态表里，查不到$\Phi_0(-2)$，但是根据对称性可以查到 $\Phi_0(2)$ ，而$\Phi_0(2)=P(X \le 2)$ 表示的下图绿色图形的面积。

![图片](/uploads/2024-11/b71212.jpg){width=400px}

**STEP3** 我们用总面积减去上面大的绿色曲面面积，就可以得到下图小的绿色曲面面积。

![图片](/uploads/2024-11/1156db.jpg){width=400px}

**STEP4** 根据对称性，上图红色曲面面积就等于小的绿色曲面面积。

**STEP5** 因此，查表知 $\Phi_0(2)=0.9772$，所以 $\Phi_0(-2)=1-0.9772=0.0228$

`例`求$\Phi_0(1.65)$
解：题目已经是标准正态分布，直接查表 $\Phi_0(1.65)=0.9505$

`例` 求标准正态分布，$P\{|X| \le 2\}$ 的值。
解：$P\{|X| \le 2\}= P \{-2 \le X \le 2 \}$
在例1里，已经算出其值，所以
$=\Phi_0(2)-\Phi_0(-2)=0.972-0.0228=0.9492$

下面我们再来分析一下例3的题目：
$P\{|X| \le 2\}=\Phi_0(2)-\Phi_0(-2)$ 
在例1里，已经知道$\Phi_0(2)$ 表示的是大的绿色曲面面积
$\Phi_0(-2)$ 表示的是左下角小的红色的曲面面积，因此这个结果是如下曲面面积

![图片](/uploads/2024-11/9419ad.jpg){width=400px}

`例` 有一批袋装大米，质量误差服从$X \sim N(50,1)$的正态分布，求质量范围在$49~51$之间的概率。
解：这是一个一般正态分布，因$X \sim N(50,1)$，所以$\mu=50,\sigma=1$

要求质量在$49-51$之间，就是求 $P\{ 49  \le X \le 51\}=\Phi(51)-\Phi_0(49)$
利用上节介绍的一般正态分布化为标准正态分布公式：
$$
\Phi(x)= \Phi_0(x) \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)
$$ 
，做一个线性变换的

$\Phi(51)-\Phi(49)$=$\Phi_0(1)-\Phi_0(-1)= 2 \Phi_0(1)-1$

## 标准正态分布的分位数概念
设 $X \sim  N(0,1)$, 对给定的 $\alpha$, 若 数 $u_\alpha$ 满足

$$
\Phi\left(u_\alpha\right)=\int_{-\infty}^{u_\alpha} \varphi(x) \mathrm{d} x=P\left(X \leq u_\alpha\right)=\alpha
$$

称 $u_\alpha$ 为随机变量$X$的 $\alpha-$ 分位数

分位数的几何意义

![图片](/uploads/2023-01/image_202301033fc0995.png){width=500px}

### 上 $\alpha$ 分位数 与下 $\alpha$ 分位数

> **为什么要引入分位数？其实就方便统计，比如班级里考试，这次考试有$30\%$的同学考试成绩超过$90$分，在这句话里， 90分就是一个分为点，他把整个成绩分成了90分上和90分下，而 $30\%$ 则包含了$90$分以上的占比。**

**上 $\alpha$ 分位数**  定义 $P=\left(X \geqslant Z_a\right)=a$, 在标准正态分布的概率分布图中, 临界值右侧曲线下的面积大小为 $a$ （下图）。

![图片](/uploads/2025-09/1fe69b.jpg){width=300px}

根据定义其意思等价于
  $\int_{z_\alpha}^{+\infty} f(z) d z=\alpha$ 或者 $\int_{-\infty}^{z_\alpha} f(z) d z=1-\alpha$ ，其中 $f(z)$ 是 $Z$ 的概率分布函数。

右侧尾部的阴影部分面积为α，这个区域在右单侧检验时也叫**拒绝域**或**否定域**。α也称（差异）显著性水平，置信水平则等于接受域的面积1−α 。

**下$a$ 分位数**, 则是 $P=\left(X \leqslant Z_{1-a}\right)=a$, 临界值左侧曲线下的面积大小为 $a$ （下图）。

![图片](/uploads/2025-09/2c20af.jpg){width=300px}

根据定义：随机变量 $Z$ 的下 $\alpha$ 分位点 $z_{1-\alpha}$ 满足：$P\left\{Z<z_{1-\alpha}\right\}=\alpha, ~ 0<\alpha<1$ ．
即 $\int_{-\infty}^{z_{1-\alpha}} f(z) d z=\alpha$ 或者 $\int_{z_{1-\alpha}}^{+\infty} f(z) d z=1-\alpha$ ，其中 $f(z)$ 是 $Z$ 的概率分布函数。

注意：记号 $z_{1-\alpha}$ 的定义来自 $\int_{z_{1-\alpha}}^{+\infty} f(z) d z=1- \alph

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：第十篇 MATLAB在概率论里的应用

下一篇：附录2：k阶矩是与矩母函数是什么意思

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)