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切比雪夫不等式

## 切比雪夫不等式
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$ 存在，则对于任意的 $\varepsilon>0$ ，有

$$
\boxed
{
P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}
}
$$
这就是切比雪夫不等式。

## 切比雪夫不等式的通俗解释

#### 引例1
扔一个硬币求正面的概率。容易知道，他的概率是0.5，但是在实验时，有可能
①扔100次，正面的次数是48
②扔1000次，正面的次数490
③扔10000次，正面的次数为4800
④扔100000次，正面的次数为50001
可以发现，随着重复的次数越来越多，其正面的几率越来越接近期望值0.5。 我们把这种重复次数很多的数叫做“**大数**”

#### 引例2
方差表示的数据离数学期望上下浮动的参数，例如张三和李四的立定跳远都是3m，张三的方差为$0.005^2$，李四的方差为$0.008^2$，可以看到，张三的成绩更稳定。因为方差本质反映**数据的波动性**。

### 定义
有了上面两个引例，就容易理解切比雪夫不等式了。切比雪夫不等式的意思是：

“随机变量$X$减去他的期望$EX$得绝对值”大于$\varepsilon$的概率 **小于** 方差除以$\varepsilon^2$
 
 我们把切比雪夫不等式拆开看。
 （1）在中学就学过，$|x-a|$的绝对值表示$x$离开a的距离，因为有左右两个，所以加了绝对值。同样$|X-EX|$表示，样本值和他的期望值**距离**。 上面，张三跳远的平均值为3m，可能第一次跳 2.9米，第二次跳3.1米，不管是2.9米还是3.1米，样本值减去期望值后，误差都是0.1米（有绝对值，就不用考虑误差的正负了）。
 
 （2）把$|X-EX|$当成一个整体考虑，那$|X-EX|$就表示每次跳远时，实际值和期望值的误差距离。比如上面张三第一次跳远的误差是0.1，第二次跳远误差是0.1，第三次跳远0.2，第四次跳远误差0.05，第五次跳远误差0.01等。可以看到，不管怎么跳，实际值总是在期望值左右来回摆动。
 （3）在 $P(|X-EX|) >\varepsilon $ 里, 微积分里已经学过$\varepsilon$表示一个无穷小量，比如取$\varepsilon=0.1$，则 $P(|X-EX|>0.1)$表示 张三跳远时，误差范围**超过**0.1的概率，也就是**下图阴影部分**的值  
  ![图片](/uploads/2024-11/a6e279.jpg)
  
 （4）切比雪夫不等式告诉我们，张三跳远时，误差范围超过0.1的概率 小于 $\dfrac{D(x)}{\varepsilon^2} = \dfrac{1}{0.1^2}= \dfrac{0.005^2}{0.1^2}=0.25\%$
  
  假设取$\varepsilon=0.2$,可以计算张三跳远时，误差范围超过0.2的概率 小于 $\dfrac{D(x)}{\varepsilon^2} = \dfrac{1}{0.1^2}= \dfrac{0.005^2}{0.2^2}=0.062\%$
  
  可以看到，$\varepsilon$取的越大，他的概率越小。这也很好理解，想象一下，张三跳远平均值是3米，取误差 $\varepsilon=5$，然后可以说，张三跳远误差超过5米的概率为0，这是没问题的。
  
 > 我们说过切比雪夫不等式左边求的是上图阴影部分的概率，这就像射箭，**靶心是数学期望**，$\varepsilon$相当于**误差的半径**，当 允许的$\varepsilon$误差半径越大，则落在外面的概率越低。

切比雪夫还有一个等价公式(反向说法)即：
$$
\boxed{
P\{|X-EX|<\varepsilon\} \geqslant 1-\frac{DX^2}{\varepsilon^2}
}
$$

例如 取 $\varepsilon=0.0001$ (趋近于零)，则$1-\frac{DX^2}{\varepsilon^2}$就趋近于1($\varepsilon$ 在分母上). 然后我们可以说，张三跳远平均值为3，每次跳远误差超过0.0001的概率为100%，即张三每次跳远误差一定超过0.0001m

### 证明
仅给出 $X$ 为连续型随机变量的证明。

$$
\begin{aligned}
& P(|X-E(X)| \geq \varepsilon)=\int_{|x-\varepsilon(x)| \geq \varepsilon} f(x) d x \leq \int_{|x-E(x)| \sum \varepsilon} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x \\
& \leq \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|X-E(X)|^2}{\varepsilon^2} f(x) d x=\frac{D(X)}{\varepsilon^2}
\end{aligned}
$$

## 切比雪夫不等式作用
如果记数学期望$EX=\mu$, 方差$DX^2=\sigma^2$, 利用切比雪夫不等式可以在未知随机变量 $X$ 分布的情况下，估计 $P\{|X-\mu| \geqslant \varepsilon\}$ 或 $P\{|X-\mu|<\varepsilon\}$ 。例如，

$$
P\{|X-\mu|<3 \sigma\} \geqslant 1-\frac{\sigma^2}{9 \sigma^2} \approx 0.8889
$$

$$
P\{|X-\mu|<4 \sigma\} \geqslant 1-\frac{\sigma^2}{16 \sigma^2}=0.9375 .
$$

由切比雪夫不等式可知当 $\sigma^2$ 越小时，$P\{|X-\mu|<\varepsilon\}$ 就越大，表明随机变量 $X$ 的取值集中在 $\mu$ 的附近，进一步体现了 $\sigma^2$ 的意义．特别地，当 $\sigma^2=0$ 时，有下列推论：

**推论** 在切比雪夫不等式中，如果 $\sigma^2=0$ ，则 $P\{X=E X\}=1$ ．
证 如果 $\sigma^2=0$ ，则由切比雪夫不等式知，对任意的 $\varepsilon>0$ ，有 $P\{|X-\mu|<\varepsilon\} \geqslant 1$ ，从而 $P\{|X-\mu|<\varepsilon\}=1$ ．考虑到 $\varepsilon$ 的任意性，得 $P\{X=\mu\}=1$ ，即 $P\{X=E X\}=1$ ．

## 例题

`例`设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 计算 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。
解: 因为 $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$ ，所以

$$
\begin{aligned}
& P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)=P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right) \\
& P\left(\left|\frac{X-\mu}{\sigma}\right| \geq 3\right)=2-2 \Phi(3)=0.003
\end{aligned}
$$

`例`设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 用切比雪夫不等式估计概率 $P(|X-\mu| \geq 3 \sigma)$ 。
解
因为 $\varepsilon=3 \sigma$ ，由切比雪夫不等式得

$$
\begin{aligned}
& P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \\
& P(|X-\mu| \geq 3 \sigma) \leq \frac{D(X)}{(3 \sigma)^2}=\frac{1}{9}
\end{aligned}
$$

`例`设随机变量 $X$ 的方差 $D(X)=0$ ，求证， $X$ 服从参数为 $c$ 的退化分布。
证明 利用切比雪夫不等式得，对任意的 $\varepsilon>0$ ，有

$$
0 \leq P(|X-E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}=0
$$

由 $\varepsilon$ 的任意性知

$$
P(X=E(X))=1
$$

`例`设随机变量 $X$ 的标准化随机变量为 $ X^*=\frac{X-E X}{\sqrt{D X}}$ ，试根据切比雪夫不等式估计概率 $P\left\{\left|X^*\right| \leq 2\right\}$ 。
解
$$
\begin{aligned}
&  \quad P\left\{\left|X^*\right|<2\right\}=P\left\{\left|\frac{X-E X}{\sqrt{D X}}\right|<2\right\}=P\{|X-E X|<2 \sqrt{D X}\} \geqslant 1- \\
& \frac{D X}{(2 \sqrt{D X})^2}=\frac{3}{4} \text {. }
\end{aligned}
$$

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