最后更新: 2025-01-12 09:33 查看: 91 次反馈刷题

马尔可夫不等式

## 马尔可夫不等式
定义：给定 $X$ 是一个非负的随机变量，我们有：

$$
\boxed{
\operatorname{P}(X \geq a) \leq \frac{ E [X]}{a} 
}
$$

证明：假设 $Y_a$ 是基于 $a$ 与 $X$ 的一个随机变量，当 $X>a$ 时取 $a$ ，当 $X \leq a$ 取 0 。

$$
Y_a= \begin{cases}0, & \text { if } X<a \\ a, & \text { if } X \geq a\end{cases}
$$

对于变量 $Y_a$ ，其期望可以表示为 $E \left(Y_a\right)=\operatorname{P}(X \geq a) * a$ ，同时我们有 $Y_a \leq X$ ，上述进行拓展，

$$
\begin{array}{ll}
Y_a & \leq X \Rightarrow \\
E \left(Y_a\right) & \leq E (X) \Rightarrow \\
\operatorname{P}(X \geq a) * a & \leq E (X) \Rightarrow \\
\operatorname{P}(X \geq a) & \leq \frac{ E [X]}{a}
\end{array}
$$

## 马尔可夫不等式通俗解释
马尔可夫不等式的基本思想是：给定一个非负的随机变量 $X(X \geq 0)$ ，如果其期望是一个较小的值，对于随机变量的采样出来的序列中 $X=x_1, x_2, x_3, \ldots$ ，我们观察到一个较大值的 $x_i$ 的概率是很小的。

我们来考察一个例子．不妨设中国人的人均年收入是 60000元（6万元）．随机选出一个家庭的收入至少为 120000元（12万元）的概率是多少？至少为 1000000元（100万元）的概率是多少？
从题目看，我们没有足够的信息来解决这个问题．也许有些人非常富有，而其他人却赚不到钱；或者恰恰相反，也许每个人的收入都接近平均水平．如果不知道收入是如何分配的，我们就无法得到确切的答案。但是，可以利用马尔可夫不等式来得到答案的范围．为此，我们需要一个均值有限且非负的随机变量．如果假设没有家庭的收入是负的，那么上述条件就能满足，因为另一个条件已经限制了数据（均值是有限的 60000元）。

因此，一个家庭至少有 120000 元收入的概率不会超过 $60000 / 120000=1 / 2$ ，或者说，收入是平均水平 2 倍的人最多占总人口的一半．那么百万富翁呢？成为百万富翁的概率最多是 $60000 / 1000000=0.06$ ，这种家庭最多占 $6 \%$ 。

可以看到马尔可夫不等式的估值非常粗糙，因此接下来会介绍切比雪夫不等式。

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