最后更新: 2024-10-01 21:07 查看: 314 次反馈纠错下载本文

曲线的渐近线

### 曲线的渐近线功能
在平面上，当曲线伸向无穷远处时，一般很难把它画准确. 但如果曲线伸向无穷远处，且能渐渐靠近一条直线，那么就可以既快又好地画出趋于无穷远处这条曲 线的走向趋势.
例如，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时 就渐渐靠近两条直线 (见图2-54) : $y=\frac{b}{a} x$ 和 $y=-\frac{b}{a} x$.
对于一般的曲线，有时也能找到这样的直线.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122800ca0db.png)

## 定义
假设曲线 $y=f(x)$ 不限制在有限平面内, 即其上的点 $P$ 可以趋于无穷远, 如果曲线的点 $P$ 到直线 $\ell: a x+t y+c=0$ 的距离 $d$, 当 $P$ 沿曲线趋于无穷远时, $d \rightarrow 0$, 那么我们称直线 $\ell$ 为所给曲线的渐近线.

#### 水平渐近线及其求法
设 $\ell_1: y=\alpha$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线, 曲线上的 $P(x, f(x))$ 点到 $\ell_1$ 的距离为

$$
d=|\alpha-f(x)|
$$

因 $\ell_1$ 为渐近线, 所以, 当 $x \rightarrow+\infty$ 或 $x \rightarrow-\infty$ 时, 应有 $d \rightarrow 0$, 即

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha, \quad \text { 或 } \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\alpha
$$

反之, 若上式成立, 则 $y=\alpha$ 必为 $y=f(x)$ 的一条渐近线.

#### 铅直渐近线及其求法
设 $\ell_2: x=\beta$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线, 又 $P(x, f(x))$ 为曲线上的任意一点, 它到 $x=\beta$ 的距离是

$$
d=|\beta-x|
$$

因为 $\ell_2$ 是 $y=f(x)$ 的渐近线, 那么

$$
\lim _{x \rightarrow \pm \beta} f(x)= \pm \infty
$$

反之, 若上式成立, 则 $\ell_2$ 为 $y=f(x)$ 的一条渐近线.
例如, 对于 $y=\frac{1}{x}$, 当 $x \rightarrow 0, y \rightarrow \pm \infty$, 故 $x=0$ 是 $y=\frac{1}{x}$ 的一条渐近线.

#### 任意渐近线及其求法
设直线 $\ell_3: y=k x+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线, 曲线上任意一点 $P(x, f(x))$ 到直线 $\ell_3$ 的距离是

$$
d=\left|\frac{k x+b-f(x)}{\sqrt{1+k^2}}\right|
$$

因为 $\ell_3$ 是渐近线, 所以当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时, $d \rightarrow 0$, 即

$$
k x+b-f(x) \rightarrow 0
$$

我们必须用上式求出 $k, b$, 才能确定 $\ell_3$. 由于当 $x \rightarrow \pm \infty$ 时, $\frac{1}{x} \rightarrow 0$, 所以

$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left[k+\frac{b}{x}-\frac{f(x)}{x}\right] & =\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1}{x}[k x+b-f(x)] \\
& =\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{1}{x} \cdot \lim _{x \rightarrow \pm \infty}[k x+b-f(x)]=0
\end{aligned}
$$

由于 $b$ 是常数, 故有

$$
\begin{aligned}
k & =\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \quad(\text { 渐近线方向 }) \\
b & =\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-k x]
\end{aligned}
$$

上面给出了代数上的渐近线定义，我们准备从几何上解释渐近线。

## 渐近线的种类
函数的渐近线包括三种：水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线。函数的渐近线在描述函数曲线中有重要的作用，在考研考试中，经常以小题的形式出现。直接问斜渐近线的方程表达式或者求给定函数的总渐近线条数。

### 渐近线的求法

**水平浙近线:** 若 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b$ 或 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$ ，其中 $b$ 为常数，则称 $y=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线；

**铅直浙近线:** 若 $\lim _{x \rightarrow c^{-}} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow c^{+}} f(x)$ 至少有一个为无穷大, 则称 $x=c$ 为曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线；

**斜浙近线:** 若 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=k$ 存在且不为零, 同时 $\lim _{x \rightarrow-\infty}[f(x)-k x]=b$ 也存在（或 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=k$存在且不为零, 同时 $\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-k x]=b$ 存在), 则称 $y=k x+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 斜渐近线.

## 水平渐近线

#### 情况1：$x \to \infty$ 时，$f(x)$ 极限等于A

极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 表明当$|x|$无限增大时，对应的函数值 $f(x)$ 与数 值$A$ 无限接近（注意：这里的$x \to \infty$包括 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$。
几何上描述为: 当曲线 $y=f(x)$ 沿 $x$ 轴正、负向伸展到无穷 远时，曲线上的点与直线 $y=A$ 上的点无限接近，也就是直线 $y=f(x)$ 为曲线 的水平渐近线 (见图2-55).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212287e96c5f.png)

#### 情况2：$x \to +\infty$ 时，$f(x)$ 极限等于A，其几何图形如下：
当 $x \to +\infty$ ,$f(x)=A$，（也就是此时$f(x)$有极限值）而  $x \to -\infty$  则没有极限值
 ![图片](/uploads/2024-10/b2e3f4.jpg)
此时会得到一条渐近线。

#### 情况3：$x \to -\infty$ 时，$f(x)$ 极限等于A，其几何图形如下：
当 $x \to -\infty$ ,$f(x)=A$，（也就是此时$f(x)$有极限值）而  $x \to +\infty$  则没有极限值

![图片](/uploads/2024-10/a350d4.jpg)
此时会得到一条渐近线。

#### 情况4：$x \to -\infty$ 时，$f(x)$ 极限等于A，：$x \to +\infty$ 时，$f(x)$ 极限等于B，
当 $x \to -\infty$ ,$f(x)=A$，（也就是此时$f(x)$有极限值A）而  $x \to -\infty$  $f(x)=B$，（也就是此时$f(x)$有极限值B），例如
 ![图片](/uploads/2024-10/081e5c.jpg)
 此时他有两条渐近线。

## 铅直渐近线
若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 或 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A$ ，则直线 $y=A$ 也是曲线 $y=f(x)$ 的 水平渐近线. 与以上不同的是，这时的渐近线仅仅限于曲线 $y=f(x)$ 在 $x \rightarrow+\infty$ 的一侧或 $x \rightarrow-\infty$ 的一侧.
$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ 表明当 $x$ 充分接近 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 的绝对值 $|f(x)|$ 无 限增大.
几何上描述为: 当 $x$ 接近 $x_0$ 时，曲线 $y=f(x)$ 要伸展到无穷远，也就是直 线 $x=x_0$ 为曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线 (见图2-56).
![图片](/uploads/2022-12/image_202212287771f4d.png)

如下图 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln x=-\infty$ 中  $x=0$ 是其铅直渐近线。
![图片](/uploads/2022-12/image_20221228b797ea1.png)
如下图   $\lim _{x \rightarrow-\infty} e^x=0$ 中， $y=0$ 是其水平渐近线。
![图片](/uploads/2022-12/image_202212285e953de.png)

## 斜渐近线
斜渐近线最典型的是双曲线。
设$y=f(x)$ 他的斜渐近线为$y=kx+b$，如果渐近线存在，则在无穷远处，两个函数值应该相同，即
$$
\lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{kx+b}=1
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122800ca0db.png)

`例` 求曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}$ 的渐近线.
解 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}=\infty, \lim _{x \rightarrow-1} \frac{\mathrm{e}^x}{x^2-1}=\infty$
故直线 $y=0$ 是水平渐近线，直线 $x=1$ 及 $x=-1$ 是两条铅直渐近线.

`例` 下列曲线有渐近线的是（）
(A) $y=x+\sin x$
(B) $y=x^2+\sin x$
(c) $y=x+\sin \frac{1}{x}$
(D) $y=x^2+\sin \frac{1}{x}$

【解析】对于 $y=x+\sin \frac{1}{x}$, 可知 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{y}{x}=1$ 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}(y-x)=\lim _{x \rightarrow \infty} \sin \frac{1}{x}=0$, 所以有斜渐近线 $y=x$, 所以本题应该选 (C)

`例` 曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 渐近线的条数为（）
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

【解析】 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2+x}{x^2-1}=\infty$, 所以 $x=1$ 为铅直渐近线
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+x}{x^2-1}=1$, 所以 $y=1$ 为水平渐近线, 没有斜渐近线, 总共两条渐近线, 所以选（C）.

## 总结
1. 求函数斜渐近线及水平渐近线的方法：计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$, 如果该极限值存在, 则 $a=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}$; 计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)$, 如果该极限存在, 则 $b=\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-a x)$. 以上两步中如果任何一步的极限不存在，则渐近线不存在。需要注意的是，水平渐近线可以看做是特殊的斜渐近线（斜率为 0 的）。
2. 很多有关渐近线的考题让考生比较头疼的—点是它们需要求所有渐近线，或者直接问渐近线有多少条一一般来说，为了不重不漏地计算出所有渐近线，我们可以按照下面的步骤：
1）首先找垂直渐近线，这只需要找出函数所有的无穷间断点 就可以了（按照求间断点的方法，先找所有 "可疑点"，再——判断）；
2）再分别对 $x$ 趋近正无穷和趋近负无穷 ${ }^{+}$求斜渐近线（注意这里是把水平渐近线看做特殊的斜渐近线的).
对 $x$ 趋近正无穷和趋近负无穷这两种情况下渐近线有可能一样，也有可能不一样，还有可能一边有渐近线另一边没有；因此，一般情况下要对两边分别求.当然，如果确定两边的渐近线一样，也可以直接一起求.

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