最后更新: 2025-09-08 04:41 查看: 1094 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲线的渐近线

## 曲线的渐近线功能
在平面上，当曲线伸向无穷远处时，一般很难把它画准确. 但如果曲线伸向无穷远处，且能渐渐靠近一条直线，那么就可以既快又好地画出趋于无穷远处这条曲 线的走向趋势.
例如，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时 就渐渐靠近两条直线 (见图2-54) : $y=\frac{b}{a} x$ 和 $y=-\frac{b}{a} x$.
对于一般的曲线，有时也能找到这样的直线.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122800ca0db.png){width=200px}

### 渐近线的定义
> **渐近线定义** 若曲线 $C$ 上的动点 $P$ 沿着曲线无限地远离原点时，点 $P$ 与某一固定直线 $L$ 的距离趋于零，则称直线 $L$ 为曲线 $C$ 的**渐近线**。

特别地，
（1）如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ，则直线 $y=A$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条**水平渐近线**．如双曲线 $y=\frac{1}{x}$ ，当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y=\frac{1}{x} \rightarrow 0$ ．所以 $y=0$ 为曲线 $y=\frac{1}{x}$ 的水平渐近线．必要时，也可以分别考虑 $x \rightarrow+\infty$ 或 $x \rightarrow-\infty$ 时函数的单侧渐近线  (参考下图x轴)．
（2）如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$ ，则直线 $x=x_0$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条**铅直（或垂直）渐近线**．如 $x \rightarrow 0$ 时，双曲线 $y=\frac{1}{x} \rightarrow \infty$ ，所以，$x=0$ 为曲线 $y=\frac{1}{x}$ 的铅直渐近线．必要时，也可以分别考虑 $x \rightarrow x_0^{+}$或 $x \rightarrow x_0^{-}$时，函数 $f(x) \rightarrow \pm \infty$ 的单侧渐近线． (参考下图y轴)．

![图片](/uploads/2025-09/dd7d96.jpg){width=300px}

（3）假设曲线 $y=f(x)$ 有**斜渐近线** $y= k x+b$ ，如图所示，曲线上动点 $P(x$ ， $f(x)$ ）到渐近线的距离为

![图片](/uploads/2025-09/badb3a.jpg){width=300px}

$$
|P N|=|P M \cos \alpha|=|f(x)-(k x+b)| \frac{1}{\sqrt{1+k^2}}
$$
 
由渐近线的定义，当 $x \rightarrow+\infty$ 时 $(x \rightarrow-\infty$ 类似)
 $|P N| \rightarrow 0$ 即有

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-(k x+b)]=0, ...(5.6)
$$

于是

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{f(x)}{x}-k-\frac{b}{x}\right)=0 .
$$

可得

$$
\boxed{
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=k .
...(5.7)}
$$

由(5.6)可得

$$
\boxed{
\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-k x]=b .
...(5.8)
}
$$

由上面的讨论知，若曲线 $y=f(x)$ 有斜渐近线 $y=k x+b$ ，则常数 $k$ 与 $b$ 可分别由（5．7）和（5．8）式求出；反之，若由（5．7）和（5．8）式求得 $k$ 与 $b$ ，则可知 $|P N| \rightarrow 0(x \rightarrow \infty)$ ，从而 $y=k x+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的渐近线．

**定理**  如果下述两极限存在（有限）：

$$
\begin{gathered}
k=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \\
b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-k x]
\end{gathered}
$$ 
则 $y=k x+b$ 是 $y=f(x)$ 的斜渐近线．

`例` 求曲线 $f(x)=\frac{x^3}{x^2+2 x-3}$ 的渐近线．
解 显然曲线无水平渐近线，且当 $x \rightarrow 1$ 和 $x \rightarrow-3$ 时，有 $f(x) \rightarrow \infty$ ，故 $x=1$ 和 $x=-3$ 为曲线的两条铅直渐近线．因

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{x^2+2 x-

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