最后更新: 2025-12-07 09:55 查看: 824 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数图形的描绘 ★★★★★

## 函数图形的描绘
对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系.       在中学阶段，我们利用描点法作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等，使得曲线的单调性、凹凸性等函数的一些重要性态难以准确显示出来.            本节我们要利用导数描绘函数  $y=f(x) $      的图形，其一般步骤如下.

第一步 确定函数 $f(x)$ 的定义域，研究函数特性，如奇偶性、周期性、有界性等， 求出函数的一阶导数 $f^{\prime}(x)$ 和二阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ ；
第二步 求出一阶导数 $f^{\prime}(x)$ 和二阶导数 $f^{\prime \prime}(x)$ 在函数定义域内的全部零点，并求出 函数 $f(x)$ 的间断点以及导数 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 不存在的点，用这些点把函数定义域划分 成若干个部分区间；
第三步 确定在这些部分区间内 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 的符号，并由此确定函数的增减性和 凹凸性、极值点和拐点；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势；
第五步 算出 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面 上定出图形上相应的点，有时还需适当补充一些辅助作图点（如与坐标轴的交点和 曲线的端点等），然后根据第三步、第四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出 函数的图形.

**重点提示**
在描画函数草图时，需要特别注意函数的增减性与凸凹性。

> **一阶导数判断增减，二阶导数判断凸凹。 增函数可能凸也可能凹，减函数也可能凸也可能凹**。

![img-text](/uploads/2025-09/370901.jpg)

## 函数作图举例
`例` 作函数 $f(x)=x^3-x^2-x+1$ 的图形.
 
解：容易判断，该函数不是奇函数、也不是偶函数，也不是周期函数，没有对称性。

**STEP1** 所给函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,+\infty)$ ，而

$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}(x)=3 x^2-2 x

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