最后更新: 2026-01-13 10:02 查看: 101 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵乘法(列视角)★★★★★

## 列视角理解矩阵乘法
本课程叫做《线性代数》，核心包含了“线性”和“代数”两层含义，在 引言了介绍了 [线性代数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=770) 四字的意义。
只有以列为视角，才能把线性组合关联起来。

> **注意：不管是行视角还是列视角，本身没有对与错，或者说两个理解都对，只是列视角更适合人类大脑思考的方式，而行视角更方便计算机处理**。

以**列**为主的视角将矩阵乘法视为**对矩阵的列向量进行线性组合**。所谓线性组合，即**线性+组合**，线性是指向量乘以一个标量，沿着向量的方向缩放，方向不变；组合是把多个向量加起来（向量加法使用平行四边形法则，可以直接坐标相加）。**列视角是最重要的视角**。

参考下图

**红绿蓝三种颜色乘以矩阵 $A=\left[\begin{array}{l}a\\b\\c \end{array} \right]$，得到的结果是红色乘以$a$，绿色乘以$b$，蓝色乘以$c$，然后得到紫色**

**这里体现了两层含义：线性，即红绿蓝分别被$a,b,c$作用，彼此不被干扰。 组合，就是把最终结果相加。**

![图片](/uploads/2025-09/8c084c.jpg)
 
 
 ## 一个简单的例子
### 一次采样
通过简单的生活例子进行解读，比如下面这个矩阵乘法：当使用列视角时，可以这样理解：
有三个学生，每一列都包含了学生的基本信息：**年龄、身高和体重**。现在对每个学生进行采样，采样次数分别是$x_1,x_2,x_3$次，最终形成了第一批采样报告 $B=\left[\begin{array}{l}b_1\\b_2\\b_3 \end{array} \right]$ 采样报告的汇总。
 
 
 
 
 
 $$
\left[\begin{array}{l} 20 & 22 & 19\\ 170 & 171 & 175\\60 & 65 & 63 \end{array} \right] \times 
\left[\begin{array}{l}x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right]
 =
 x_1  \left[\begin{array}{l} 20 \\ 170 \\ 60\end{array} \right]
 +
 x_2  \left[\begin{array}{l} 22 \\ 171 \\ 65\end{array} \right]

+ x_3  \left[\begin{array}{l} 19 \\ 175 \\ 63\end{array} \right]
 =
 \left[\begin{array}{l}b_1\\b_2\\b_3 \end{array} \right]
 $$
  
  
  示意图如下：
  
  ![图片](/uploads/2025-09/40dcbc.jpg)
 
### 多次采样
 假设有一天又进行了第二次采样，如下
 
 
 $$
 
 \left[\begin{array}{l} 20 & 22 & 19\\ 170 & 171 & 175\\60 & 65 & 63 \end{array} \right] \times 
 
\left[\begin{array}{l}x_1 &x_4 \\x_2 & x_5\\x_3 & x_6 \end{array} \right]
  
 =
 \left[\begin{array}{l}b_1 & b_4\\b_2 &b_5\\b_3 & b_6 \end{array} \right]
 $$
 
参考下图可以看到，**每一列采样数据和采样结果彼此互相对应**，如下图， 矩阵A每列是3个学生的基本信息，矩阵B的2列表示采样了2批次，矩阵结果C的2列分别对应第一批次采样报告和第二批次采样报告。

![图片](/uploads/2025-09/94fbb2.jpg)
 
如果把上面看成方程，我们发现变量还是竖着写舒服，因为能跟右边的值一一对应起来。进一步的，可以发现这个方程其实是2个方程组，含有6个等式。

如果采样次数是第三次、第四次、第n次呢？不用担心，直接把汇总结果矩阵继续案列放置即可。所以按列理解矩阵乘法，是最常用的思考方式。
 
 ### 推广
现在把上面的结果推广,把矩阵$A$推广为多列,为了方便理解，我们从**结果看过程** 可以看到，最后的结果就是前面线性的叠加。
 
![图片](/uploads/2025-09/e02e3d.jpg)

## 列视角下的矩阵乘法
 
矩阵乘法的**列视角**，核心是把乘积矩阵的**每一列**，看作是第一个矩阵（左矩阵）的列向量的**线性组合**，组合系数由第二个矩阵（右矩阵）的对应列提供。

这种视角和常规的“行×列”点积视角等价，但能更直观地理解矩阵乘法的几何意义与线性变换本质。

### 1. 基本概念与公式
设左矩阵 $\boldsymbol{A}_{m\times n}$，右矩阵 $\boldsymbol{B}_{n\times p}$，乘积矩阵 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AB}_{m\times p}$。

- 把 $\boldsymbol{A}$ 按列分块：$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}\boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \dots & \bo

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