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矩阵的乘法★★★★★

>在 [矩阵乘法的视图](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3390) 里会介绍更多乘法的视角。但是核心掌握下面几个就可以了

## 矩阵的乘法
设矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)$ 是一个 $m \times p$ 矩阵, 矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ 是一个 $p \times n$ 矩阵, 定义矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积是
一个 $m \times n$ 矩阵 $C=\left(c_{i j}\right)$ ，其中矩阵 $C=\left(c_{i j}\right)$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{i j}$ 是由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行元素$a_{11}, a_2, \cdots, a_p$ 与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列相应元素 $b_{1 j}, b_{2 j}, \cdots, b_B$ 乘积之和，即

$$
c_{i j}=\sum_{k=1}^p a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i p} b_{p j} .
$$
定义有点绕口，直接看例子。

## 矩阵乘法举例

`例` 计算 
$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{array}\right)=
$$

解：我们使用行向量视角，第一个矩阵是$2 \times 3$矩阵，第二个矩阵是$3 \times 2$矩阵，所以结果将是一个$2 \times 2$的矩阵。

$c_{11}=1*7+2*9+3*11=58$
![图片](/uploads/2024-09/2b59ab.jpg)

同理，
$c_{12}=1*8+2*10+3*12=64$
$c_{21}=4*7+5*9+6*11=139$
$c_{22}=4*8+5*10+6*12=154$

所以，结果是

$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{array}\right)=

\left(\begin{array}{cc}
58 & 64 \\
139 & 154 
\end{array}\right)
$$

上面结算结果是：用第一个矩阵的行和第二个矩阵的列相乘，然后得到的结果作为结果矩阵里的元素。这种**以行为主**的内积运算（也称点积）虽然很容易方便（计算机）处理，但是却不利于我们人脑的理解。

> **我们应该拥有更高维度更清晰的视角看待矩阵——以列为主，即列向量**

`例` 计算
$$
\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
2 & 4 \\
3 & 7
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
2 x_1+3 x_2 \\
2 x_1+4 x_2 \\
3 x_1+7 x_2
\end{array}\right]
$$

仔细看一下列2，你发现了什么了吗？是的，乘积的结果矩阵 相当于用$x_1,x_2$ 分别乘以矩阵$A$的前两列，再相加。

## 列视角理解矩阵乘法
本课程叫做《线性代数》，核心包含了“线性”和“代数”两层含义，在 引言了介绍了 [线性代数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=770) 四字的意义。
只有以列为视角，才能把线性组合关联起来。

以**列**为主的视角将矩阵乘法视为**对矩阵的列向量进行线性组合**。所谓线性组合，即**线性+组合**，线性是指向量乘以一个标量，沿着向量的方向缩放，方向不变；组合是把多个向量加起来。列视角是线性代数非常核心的基础概念，基础并不是说它简单，而是说它像地基一样重要，在学习任何线代知识前，应该先要打好的地基。

参考下图

> **红绿蓝三种颜色乘以矩阵 $A=(a,b,c)^T$，得到的结果是红色乘以$a$，绿色乘以$b$，蓝色乘以$c$，然后得到紫色**

> **这里体现了两层含义：线性，即红绿蓝分别被$a,b,c$作用，彼此不被干扰。 组合，就是把最终结果相加。**

![图片](/uploads/2025-09/8c084c.jpg)
 
 ### 推广
现在把上面的结果推广,把矩阵$A$推广为多列,
为了方便理解，我们从**结果看过程**
可以看到，最后的结果就是前面线性的叠加。
 
 $$
A= \left[\begin{array}{ll}
a & e & g \\
b & e & h\\
c & f & i
\end{array}\right]
 $$
 
> **$(a,b,c)$ 作用颜色的结果的第一列，$(d,e,f)$作用颜色的结果作为第二列，$(g,h,i)$作用颜色的结果作为第三列。 换句话说，每一列的结果只与对应的列有关，而和别的列无关**

这就像，下课了，嘈杂的教师里，你能立刻分别出小明和小军的声音，虽然教室里各种同学声音杂乱无章，但是对你而言，“小明”的声音和小军的声音好想彼此不干扰一样。

![图片](/uploads/2025-09/e02e3d.jpg)

理解了上面的思想，再来看例1的乘法。

`例` 计算 
$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{array}\right)=？
$$

解：我们使用列向量视角，第二个矩阵有2列，所以，最终结果有2列，可以把第二个矩阵拆开成2个独立的矩阵，相乘后再相加
$$

\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}
7 & 0 \\
9 & 0 \\
11 & 0
\end{array}\right) +

\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc}
0 & 8 \\
0 & 10 \\
0 & 12
\end{array}\right) 
$$

$$
\left(\begin{array}{lll}
58 & 0 \\
139 & 0
\end{array}\right) +

\left(\begin{array}{lll}
0 & 64 \\
0 & 154
\end{array}\right) 
$$

$$
= \left(\begin{array}{lll}
58 & 64 \\
139 & 154
\end{array}\right) 
$$

> 注意：正如上面所说，使用列视角方便人脑的理解，但是计算量反而可能比行视角大，所以行视角多用于计算机处理中。

### 列视角下的方程组
 
设有方程
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\cdots \cdots \cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m
\end{array}\right.
$$

则方程可以写成

$$
\begin{aligned}
& A x=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{n 1}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{2 c} \\
\vdots \\
a_{n 2}
\end{array}\right]+\cdots 
& +x_n\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right]
\end{aligned}= \boldsymbol{b}
$$

仅从长相上看，矩阵方程 $Ax=\beta$初中学习的代数方程 $ax=b$ 几乎张一模一样。

## 矩阵乘法的性质

`例`求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{ar

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