最后更新: 2025-03-05 07:30 查看: 868 次反馈同步训练

四阶行列式的计算

## 四阶行列式的计算

### 根据上三角计算四阶行列式
对于超过3阶以上的行列式，通常需要使用行列式的性质，把他化为上三角进行计算。主要使用的一条性质是：
**行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。**

`例`求四阶行列式 
$$
\begin{aligned}
&D=\left|\begin{array}{cccc}
3 & 1 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 & 7 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

解：这是一个四阶行列式，主要利用行列式的性质，把他化成上三角。

①因为最终化为上三角，所以，我们希望第一行第一列最好都是1，然后用**第一行**消去第二行，用**第一行**消去第三行，用**第一行**消去第四行。为此，第二行和第一行互换，根据行列式性质，互换两行，行列式变号，前面需要添加一个负号。
$$
D \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_2}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
3 & 1 & -1 & 0 \\
2 & 3 & 4 & 7 \\
2 & 2 & 1 & 4
\end{array}\right|
$$

②现在第一行不变，利用第一行分别消去第二行，第三行和第四行。行列式有一个性质是：一行的k倍加到另一行上去，行列式的值不变，因此
(i)第一行乘以 $-3$ 加到第二行
(ii)第一行乘以 $-2$ 加到第三行
(iii)第一行乘以 $-2$ 加到第四行
$$
D=\xlongequal{\substack{-3 r_1+r_2 \\
-2 r_1+r_3 \\
-2 r_1+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 3 & 2 & 3 \\
0 & 2 & -1 & 0
\end{array}\right|
$$

③ 现在第一列已经变成$(k,0,0,0)$ 上三角形式了，
接下来处理第二列，让第二列由 $(0,1,3,2)$ 变成 $(a,b,0,0)$形式， 为此，以**第二行**为基础，消去第三行和第四行。
（i）将第$2$行乘以 $-3$ 加到第三行
（ii）将第$2$行乘以 $-2$ 加到第四行
此时得到的行列式如下：

$$
D\xlongequal{\substack{-3 r_2+r_3 \\
-2 r_2+r_4}}-\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 14 & 21 \\
0 & 0 & 7 & 12
\end{array}\right|
$$

> **注意** 在第一列已经处理完毕的情况下，第一列不再主动参与运算。比如第一行乘以一个数加到下面任何一行，都会破坏前面列已经化简的结果，但是从下往上被动是可以的，因为已经处理的列下面是0，0的倍数加上上面，值不变。

④观察上面第三行的数字是$14$和第四行的$7$，虽然$14$乘以$-\frac{1}{2}$ 加到第四行可以销掉第四行，但是会产生分数，我们尽可能希望使用整数，因此 交换第三行和第四行（**注意行列式再次变号**），

$$
D\xlongequal{\substack{r_{3 \leftrightarrow r_4} \\
}}\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 14 & 21 
\end{array}\right|
$$

然后用新的第$3$行乘以 $-2$ 加到第四行上去。

$$
D\xlongequal{\substack{} \\
-2 r_3+r_{4-2} }\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right|
$$

⑤ 此时行列式已经化成上三角，结果是主对角线的值
$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -4 & -6 \\
0 & 0 & 7 & 12 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right|=-21
$$

> 对于任意一个四阶行列式，通过上述得变换，化简为上三角或下三角行列式，然后其值为主对角线的乘积。但是在具体算时，需要灵活运动行列的性质。

`例`计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
2 & -3 & 4 & 5 \\
3 & -2 & 3 & 4 \\
5 & 4 & -3 & 2 \\
4 & 6 & -4 & -5
\end{array}\right|
$$

解： 因为现 在$a_{11}=2$ ，若将 $a_{21}, a_{31}$ 化零时会出现分数。 **我们要尽可能想办法让行列式中$a_{11}=1$，(当然-1也可以)** ， 一种方法是第一行**提取公因子法**，即第一行提取一个公因子$2$，但是这样后面几个数字也会出现分数。
为此，先将 $D$ 中第二 行的 $-1$

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