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三阶行列式的几何意义

## 三阶行列式的定义
参考上一节二阶行列式的顶用，下面给出三阶行列式的定义：
$$
\begin{aligned}
&|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|,
\end{aligned}
$$

称 $|\boldsymbol{A}|$ 是一个三阶行列式. 我们要定义三阶行列式的值, 使得行列式具有上节中所述的 8 个性质. 我们不妨倒过来, 假定行列式已经定义且适合 8 个性质, 那么行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值应该等于什么?

根据[二行列式性质](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=812)6 , 上述行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 可以表示成为 3 个行列式之和:

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right| .
$$

对于上述和式中的第二个行列式, 利用性质 4 , 将其第二行和第一行对换, 就可将它化为与和式中第一个行列式相同的类型. 同理, 和式中第三个行列式也可以通过行对换化为和第一个行列式相同的类型. 因此, 现在的问题是, 行列式

$$
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
$$

应该等于什么? 我们利用性质 7 可以将上面这个行列式化为上三角行列式:将 $-a_{22}^{-1} a_{32}$ 乘以第二行加到第三行上, 由性质 7 , 行列式值不变, 即

$$
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}-a_{22}^{-1} a_{32} a_{23}
\end{array}\right|
$$

再根据性质1，有

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}-a_{22}^{-1} a_{32} a_{23}
\end{array}\right| & =a_{11} a_{22}\left(a_{33}-a_{22}^{-1} a_{32} a_{23}\right) \\
& =a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{32} a_{23}\right) \\
& =a_{11}\left|\begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

于是
$$
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ll}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
$$

再由性质 4 和上面的结果, 我们得到

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=-a_{21}\left|\begin{array}{ll}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|,
\end{aligned}
$$

和

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{31}\left|\begin{array}{ll}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

> **可以看到，利用上一节介绍的二阶行列式的性质，就可以倒推出三阶行列式的值。**

**代数余子式**
现在我们引进几个名词. 如果将上述行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 划去某个元素 $a_{i j}(i, j=$ $1,2,3)$ 所在的一行和一列, 则剩下的元素按原来的次序组成一个二阶行列式, 我们称这个二阶行列式为元素 $a_{i j}$ 的余子式, 记为 $M_{i j}$.

比如 $|\boldsymbol{A}|$ 中元素 $a_{11}$ 的余子式为 $M_{11}=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{

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