最后更新: 2025-05-12 08:13 查看: 985 次反馈同步训练

三阶行列式的几何意义

## 三阶行列式的定义
参考上一节二阶行列式的顶用，下面给出三阶行列式的定义：
$$
\begin{aligned}
&|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|,
\end{aligned}
$$

称 $|\boldsymbol{A}|$ 是一个三阶行列式. 我们要定义三阶行列式的值, 使得行列式具有上节中所述的 8 个性质. 我们不妨倒过来, 假定行列式已经定义且适合 8 个性质, 那么行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 的值应该等于什么?

根据[二行列式性质](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=812)6 , 上述行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 可以表示成为 3 个行列式之和:

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right| .
$$

对于上述和式中的第二个行列式, 利用性质 4 , 将其第二行和第一行对换, 就可将它化为与和式中第一个行列式相同的类型. 同理, 和式中第三个行列式也可以通过行对换化为和第一个行列式相同的类型. 因此, 现在的问题是, 行列式

$$
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
$$

应该等于什么? 我们利用性质 7 可以将上面这个行列式化为上三角行列式:将 $-a_{22}^{-1} a_{32}$ 乘以第二行加到第三行上, 由性质 7 , 行列式值不变, 即

$$
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}-a_{22}^{-1} a_{32} a_{23}
\end{array}\right|
$$

再根据性质1，有

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}-a_{22}^{-1} a_{32} a_{23}
\end{array}\right| & =a_{11} a_{22}\left(a_{33}-a_{22}^{-1} a_{32} a_{23}\right) \\
& =a_{11}\left(a_{22} a_{33}-a_{32} a_{23}\right) \\
& =a_{11}\left|\begin{array}{cc}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

于是
$$
\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{ll}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
$$

再由性质 4 和上面的结果, 我们得到

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
0 & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=-a_{21}\left|\begin{array}{ll}
a_{12} & a_{13} \\
a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|,
\end{aligned}
$$

和

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
0 & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{31}\left|\begin{array}{ll}
a_{12} & a_{13} \\
a_{22} & a_{23}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

**代数余子式**
现在我们引进几个名词. 如果将上述行列式 $|\boldsymbol{A}|$ 划去某个元素 $a_{i j}(i, j=$ $1,2,3)$ 所在的一行和一列, 则剩下的元素按原来的次序组成一个二阶行列式, 我们称这个二阶行列式为元素 $a_{i j}$ 的余子式, 记为 $M_{i j}$.

比如 $|\boldsymbol{A}|$ 中元素 $a_{11}$ 的余子式为 $M_{11}=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$, 元素 $a_{12}$ 的余子式为 $M_{12}=\left|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right|$, 元素 $a_{23}$ 的余子式为 $M_{23}=\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32}\end{array}\right|$, 等等.

根据上面的分析, 我们有理由作出如下的定义.
$|\boldsymbol{A}|$ 的值为

$$
|\boldsymbol{A}| =|\boldsymbol{A}|=a_{11} M_{11}-a_{21} M_{21}+a_{31} M_{31} .
$$

为了便于记忆，三阶行列式的值可以写成
$$
\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right| \\

&=a_1 \cdot\left|\begin{array}{ll}
b_2 & b_3 \\
c_2 & c_3
\end{array}\right|-a_2 \cdot\left|\begin{array}{ll}
b_1 & b_3 \\
c_1 & c_3
\end{array}\right|+a_3 \cdot\left|\begin{array}{ll}
b_1 & b_2 \\
c_1 & c_2
\end{array}\right|  \\
&=a_1 b_2 c_3+a_2 b_3 c_1+a_3 b_1 c_2-a_1 b_3 c_2-a_2 b_1 c_3-a_3 b_2 c_1
\end{aligned}
$$

三阶行列式的值可以这么算：他是3主对角线元素的和减去3个副对角线元素的和。
 
  ![图片](/uploads/2024-12/b68380.jpg){width=600px}

## 三阶行列式的计算
对于三阶行列式计算通常使用三种方法：
（1）代数余子式 （2）初等变换。（3）利用对角线法则

#### ①利用代数余子式计算三阶行列式
通过代数余子式，把三阶行列式转换为多个二阶的行列式，也就是行列式按行展开。点击查看[代数余子式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=471) 教程

`例`计算 $ {D}_3=\left|\begin{array}{lll} {a}_{11} &  {a}_{12} &  {a}_{13} \\  {a}_{21} &  {a}_{22} &  {a}_{23} \\  {a}_{31} &  {a}_{32} &  {a}_{33}\end{array}\right|$

解：以第一行展开, 得  
${D}_3=$
$$
\begin{aligned}
& =(-1)^{1+1}  {a}_{11}  {M}_{11}+(-1)^{1+2}  {a}_{12}  {M}_{12}+(-1)^{1+3}  {a}_{13}  {M}_{13} \\
& = {a}_{11}\left|\begin{array}{ll}
 {a}_{22} &  {a}_{23} \\
 {a}_{32} &  {a}_{33}
\end{array}\right|- {a}_{12}\left|\begin{array}{ll}
 {a}_{21} &  {a}_{23} \\
 {a}_{31} &  {a}_{33}
\end{array}\right|+ {a}_{13}\left|\begin{array}{ll}
 {a}_{21} &  {a}_{22} \\
 {a}_{31} &  {a}_{32}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

二阶的大家都会算，这里就不再进一步展开了。

`例` 计算三阶行列式 $D=\left|\begin{array}{rrr}3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 4\end{array}\right|$.
解： 按第一行展开, 得

$$
\begin{aligned}
D & =3 \times(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
1 & 4
\end{array}\right|+(-1) \times(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
2 & 4
\end{array}\right|+2 \times(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 1
\end{array}\right| \\
& =3 \times 9+6+2 \times(-3)=27
\end{a

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