最后更新: 2025-03-01 08:06 查看: 1174 次反馈同步训练

二阶行列式及其意义

## 二阶行列式
行列式的想法最初来自于解线性方程组，在初中，我们学习过通过消元法解二元线性方程组，如下

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2=b_2
\end{array}\right.
$$

当 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0$ 时,此方程组有唯一解, 即

$$
x_1=\dfrac{b_1 a_{22}-a_{12} b_2}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}, \quad  x_2=\dfrac{a_{11} b_2-b_1 a_{21}}{a_{11} a_{22}- a_{12} a_{21}}
$$

观察上面方程的分子与分母，具有极强的对称性，如果把
 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$用下列符号表示

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}
$$

则
 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|$ 则被成为二阶行列式。
 
当二阶行列式
 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right| \neq 0$

时, 上述方程组有唯一解, 其解可以表示为

$$
x_1=\frac{\left|\begin{array}{ll}
b_1 & a_{12} \\
b_2 & a_{22}
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|}, \quad x_2=\frac{\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & b_1 \\
a_{21} & b_2
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|}
$$

为了便于记忆，可以给出如下更简单的形式便于记忆
$$
\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|=a d-b c
\end{aligned}
$$
> 即二阶行列式的值为主对角线的值减去副对角线的值。

## 二阶行列式的计算
二阶行列式按照定义即可直接计算。
`例`计算
$$
\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right|=1*4-2*3=-2
\end{aligned}
$$

`例`计算
$$
\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{ll}
3 & 4 \\
6 & 8
\end{array}\right|=0
\end{aligned}
$$
在后面，会介绍二阶行列式本质表示的两个向量形成张量的面积。
因此，上面这个计算相当于在$R^2$二维平面上的两个向量${\vec{a_1}(3,4)}$ 和 ${\vec{a_2}(6,8)}$所形成的面积，容易看到，这2个向量坐标是成比例的，也就是这2个向量是共线的，因此面积为0，所以最终结果为0.

## 二阶行列式的性质

上面给出了二阶行列式的定义
$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21},\\
\end{aligned}
$$

考虑一种特殊情况，如果令 $a_{21}=0$,则上述二阶行列式变形为

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
0 & a_{22}
\end{array}\right|
$$

$|\boldsymbol{A}|$ 的值根据定义为 $a_{11} a_{22}-0 a_{21}=a_{11} a_{22}$.

我们称上述行列式为**上三角行列式**, 
元素 $a_{11}, a_{22}$ 为行列式的对角线元素 (或主对角元素), 
于是我们得到行列式的第一个性质.

> 虽然下列性质是通过二阶行列式得到的，但是可以推广到对$n$阶行列式也成立。因此，通过二阶行列式记忆其性质，非常便于理解。

**性质1** 上三角行列式的值等于其对角线元素之积.

**性质2** 行列式某行或某列全为零, 则行列式值等于零.
比如若第一行全为零, 则显然

$$
\left|\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=0
$$

**性质3** 用常数 $c$ 乘以行列式的某一行或某一列, 得到的行列式的值等于原行列式值的 $c$ 倍。

比如将 $c$ 乘以 $|\boldsymbol{A}|$ 的第一行, 我们有

$$
\left|\begin{array}{cc}
c a_{11} & c a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left(c a_{11}\right) a_{22}-\left(c a_{12}\right) a_{21}=c|\boldsymbol{A}| .
$$

**性质4** 交换行列式不同的两行 (列), 行列式的值改变符号.
证明也很容易:

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{21} & a_{22} \\
a_{11} & a_{12}
\end{array}\right|=a_{21} a_{12}-a_{11} a_{22}=-\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
$$

同理

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{12} & a_{11} \\
a_{22} & a_{21}
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
$$

**性质5** 若行列式两行或两列成比例，则行列式的值等于零. 特别，若行列式两行或两列相同, 则行列式的值等于零.

对列成比例的情形我们可证明如下:

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & k a_{11} \\
a_{21} & k a_{21}
\end{array}\right|=a_{11} k a_{21}-k a_{11} a_{21}=0
$$

**性质6** 若行列式中某行 (列) 元素均为两项之和, 则行列式可表示为两个行列式之和。

如
$$
\begin{gathered}
\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{array}\right| \\
\left|\begin{array}{ll}
b_{11}+c_{11} & a_{12} \\
b_{21}+c_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
b_{11} & a_{12} \\
b_{21} & a_{22}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}
c_{11} & a_{12} \\
c_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
\end{gathered}
$$

验证也非常容易，只需按照行列式定义计算等式两边的值即可. **这个定义告诉我们再拆分行列式时一次只能拆分一个**。 
比如需要注意的是下面的等式不成立:

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right|
$$

**性质7** 行列式的某一行 (列) 乘以某个数加到另一行 (列) 上, 行列式的值不变。

比如行列式

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12}+k a_{11} \\
a_{21} & a_{22}+k a_{21}
\end{array}\right| & =a_{11}\left(a_{22}+k a_{21}\right)-a_{21}\left(a_{12}+k a_{11}\right) \\
& =a_{11} a_{22}-a_{2

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