最后更新: 2026-01-10 21:47 查看: 1429 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二阶行列式及其意义

## 二阶行列式
行列式的想法最初来自于解线性方程组，在初中，我们学习过通过消元法解二元线性方程组，如下

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2=b_2
\end{array}\right.
$$

当 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} \neq 0$ 时,此方程组有唯一解, 即

$$
x_1=\dfrac{b_1 a_{22}-a_{12} b_2}{a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}}, \quad  x_2=\dfrac{a_{11} b_2-b_1 a_{21}}{a_{11} a_{22}- a_{12} a_{21}}
$$

观察上面方程的分子与分母，具有极强的对称性，如果把
 $a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}$用下列符号表示

$$
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}
$$

则
 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right|$ 则被成为**二阶行列式**。
 
当二阶行列式
 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right| \neq 0$

时, 上述方程组有唯一解, 其解可以表示为

$$
x_1=\frac{\left|\begin{array}{ll}
b_1 & a_{12} \\
b_2 & a_{22}
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|}, \quad x_2=\frac{\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & b_1 \\
a_{21} & b_2
\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|}
$$

为了便于记忆，可以给出如下更简单的形式便于记忆
$$
\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right|=a d-b c
\end{aligned}
$$
> **即二阶行列式的值为主对角线的值减去副对角线的值。**

### 矩阵的行列式表示法
在 [序言](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1324) 里介绍过，方程的系数可以使用矩阵表示（不含等号右边的数），比如上面的二元一次方程写成矩阵就是（矩阵英文称作 Matrix）  
$$
A=\left[\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right]
$$

因为行列式要求是$n \times n$ 必须是方的（正方形），而普通矩阵通常是 $n \times m$不一定是方的，因此一般矩阵并没有对应的行列式，但是如果矩阵是 $n \times n$方的，此时**矩阵和行列式就会产生“本质”反应**。在这种情况下，矩阵对应的行列式可以简记为 $det A$ ,这里 det 是 determinant 行列式的简写， 即矩阵A对应的行列式记做
$$
det A= |A|
$$

每个方阵会对应一个行列式，矩阵$A$对应的行列式记做 $det A$, 如果 $det A=0$ 则矩阵称为**奇异矩阵**或**退化矩阵**， 如果 $det A \ne 0$ 则矩阵称为**非奇异矩阵**或**非退化矩阵**，这2个名字 含义可以在 [矩阵的秩](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=482) 里理解。

## 二阶行列式的计算
二阶行列式按照定义即可直接计算。
`例`计算
$$
\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right|=1*4-2*3=-2
\end{aligned}
$$

`例`计算
$$
\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{ll}
3 & 4 \\
6 & 8
\end{array}\right|=0
\end{aligned}
$$
在后面，会介绍二阶行列式本质表示的两个向量形成张量的面积。
因此，上面这个计算相当于在$R^2$二维平面上的两个向量${\vec{a_1}(3,4)}$ 和 ${\vec{a_2}(6,8)}$所形成的面积，容易看到，例2里，这2个向量坐标是成比例的，也就是这2个向量是共线的，因此面积为0，所以最终结果为0.

## 二阶行列式的性质

上面给出了二阶行列式的定义
$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21},\\
\end{aligned}
$$

考虑一种特殊情况，如果令 $a_{21}=0$,则上述二阶行列式变形为

$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
0 & a_{22}
\end{array}\right|
$$

$|\boldsymbol{A}|$ 的值根据定义为 $a_{11} a_{22}-0 a_{21}=a_{11} a_{22}$.

我们称上述行列式为**上三角行列式**, 
元素 $a_{11}, a_{22}$ 为行列式的对角线元素 (或主对角元素), 
于是我们得到行列式的第一个性质.

**注：虽然下列性质是通过二阶行列式得到的，但是推广到$n$阶行列式也成立。因此，通过二阶行列式记忆其性质，非常便于理解。**

**性质1** 上三角行列式的值等于其对角线元素之积.

> 性质释义:没啥好解释，非常容易记忆

**性质2** 行列式某行或某列全为零, 则行列式值等于零.
比如若第一行全为零, 则显然

$$
\left|\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=0
$$

> 性质释义:一行全为零，结果肯为零

**性质3** 用常数 $c$ 乘以行列式的某一行或某一列, 得到的行列式的值等于原行列式值的 $c$ 倍。

比如将 $c$ 乘以 $|\boldsymbol{A}|$ 的第一行, 我们有

$$
\left|\begin{array}{cc}
c a_{11} & c a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left(c a_{11}\right) a_{22}-\left(c a_{12}\right) a_{21}=c|\boldsymbol{A}| .
$$

> **因此，假设$n$阶矩阵有公因子$c$,提取出来就是$c^n$，例如**

$$
\left|\begin{array}{cc}
c a_{11} & c a_{12} \\
c a_{21} & c a_{22}
\end{array}\right|= c^2 |\boldsymbol{A}| .
$$

#### 性质3易错点提醒

（1）一个常数$k$乘以行列式$|A|$等于常数乘以行列式的**一行**。

换言之，如果一个行列式有一个公约数$k$，提出来应该是
$$
\boxed{
|kA|=k^n|A|
}
$$

(2)一个常数$k$乘以矩阵$A$等于常数乘以矩阵的**每一行**。
换言之，如果一个矩阵有一个公约数$k$，提出来应该是
$$
\boxed{
[kA]=k[A]
}
$$

常数乘以矩阵和行列式比较

**最重要的区别**：如果把常数乘到矩阵里（$ kA $），再求行列式，它会放大 $ k^n $ 倍，而不是 $ k $ 倍。

|特

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：公式汇总

下一篇：三阶行列式的几何意义

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)