最后更新: 2025-12-14 09:51 查看: 1348 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二维正态分布

> 在《概率论与数理统计》这门课里，初学者遇到第一个难懂的概念就是密度函数和分布函数，有概率就行了，为啥还要搞这么多复杂的概念。这是因为，我们要研究现实的世界，而很多分布我们是不清楚的，我们唯一能做的就是：统计。由统计得来的数字来**逆推**物态所呈现的可能的概率。比如仍一个硬币，通过观察他的正反面，发现他和我们“库”里的0-1分布很像，那我们就说，仍硬币就服从0-1分布，而不是正态分布，通过大量的经验，我们知道，概率分布可能很多，但是常见的就那几个：一维的包括：二项分布，泊松分布，指数分布，正态分布，而二维的包括均匀分布和正态分布。 换句话说我们学“随机变量与分布”核心是掌握**这几个分布的概念和性质**，一则这几个分布是最常用的分布，基本上够以后工作使用了，另外一则，学会了这几个分布的学习方法，就算遇到不熟悉的分布，也能自学。记住应用场景很重要，比如一本书的印刷错误主要服从[泊松分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=527)，比如测量产品的误差服从[正态分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=532)，比如电子设备的寿命服从[指数分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=531)，而指数分布无记忆性。我们学习概率论，就是学会了解每个分布分布特点，数学期望与方差，记住他们密度函数的图像特点，相反并不需要你记住密度函数或者分布函数的表达式(考研的例外)。

在二维分布里，主要掌握两个分布：二维均匀分布和二维正态分布，上一节介绍了二维均匀分布，接下来介绍二维正态分布。

## 二维正态分布
如果 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \cdot e^ \left\{-\dfrac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\dfrac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-\dfrac{2 \rho\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\dfrac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} 
\end{aligned}
}
$$

其中，$\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho$ 都是常数，且 $\sigma_1>0, \sigma_2>0,-1<\rho<1$ ．我们称（ $X, Y$ ）为服从参数为 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2, \rho$ 的**二维正态分布**，记为 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ．

定义域中$-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty$， 其中五个参数的取值范围是

$$
-\infty<\mu_1, \mu_2<+\infty, \sigma_1, \sigma_2>0,|\rho|<1,
$$

以后将指出: $\mu_1, \mu_2$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的均值, $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 分别是 $X$ 与 $Y$ 的方差, $\rho$ 是 $X$ 与 $Y$的相关系数.

> 二维分布的公式很长，可能吓跑我们，但是记住：我们无需记住密度函数公式，只要掌握它的形状和特点就可以了。(注意：普通考试不需要记住这些公式，但是考研一族例外哦^_^，如果你是考研的需要记住这些公式，甚至下面介绍的推导过程也要会)。
 
 下图显示了二维正态分布的密度函数图像，从图像上看，他就像一个凸起的小山包。二维正态分布的概率密度虽然较复杂，但它是一个在数学、物理和工程等领域都有广泛应用的分布，有“漂亮”的结论，无论在理论研究还是实际应用中都起着至关重要的作用．

![图片](/uploads/2025-09/f1bc52.jpg)
 
 
特别，当 $\mu_1=\mu_2=0, \sigma_1=\sigma_2=1$ 时，则称 $(X, Y)$ 服从标准正态分布．

性质：$(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2 ; \mu_2, \sigma_2^2 ; \rho\right) \Rightarrow X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ．逆命题不成立．

后面这个性质说明：二维正态联合分布可以唯一决定其每个分量都是正态分布，但反过来不成立。即知道 $X$ 与 $Y$ 是正态分布，不代表其联合分布也是正态分布。比如考虑两个二维正态分布

$$
N(0,0,1,1,1 / 2) \text { 和 } N(0,0,1,1,1 / 3)
$$

它们的任一边缘分布都是标准正态分布 $N(0,1)$ 。但这两个二维正态分布是不同分布，因为其参数 $\rho$ 的数値不同。引起这个现象的原因是：二维联合分布不仅含有每个分量的概率分布，而且还含有两个变量 $X$ 与 $Y$ 之间关系的信息，后者正是人们研究多维随机变量的原因。以后会看到，这里参数 $\rho$ 的值将会反映二个变量 $X$ 与 $Y$ 之间关系密切的程度

> **后面这个性质可以做一个简单比喻：学生身高服从正态分布，学生体重服从正态分布，所以，学生的“身高和体重”服从二维正态分布基本上是正确的。 学生身高服从正态分布，机器包装产品误差也服从正态分布，我们不能说“学生身高和机器包装误差也服从二维正态分布”，很明显，学生身高和机器包装产品误差是风马牛不相及的两件事。**

## 二维正态分布常用结论
从二维正态分布公式可以推出如下结论：具体推导可以参考相关书籍，这里给出必须记住的结论。

**【结论1】** 若 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$, 则其边缘分布为一维正态分布, 即: $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$,

>简记：$X,Y$合起来是正态分布，那么分开后，$X,Y$每个都是正态分布。反之，如果$X,Y$分开后是正态分布，合起来则**不一定**是正态分布。

**【结论2】** 若 $X, Y$ 均服从正态分布, 且 $X, Y$ 相互独立, 即 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 也就是“一维正态 +独立”可以推出二维正态。
即  $X \sim N(0,1) ,  Y \sim N  (0,1) . P_{X Y}=0$.

> 简记：如果$X,Y$分别是正态分布且相互独立，那么他们合起来的联合分布也是正态分布。二维正态变量独立$\Leftrightarrow$ 不相关 $\Leftrightarrow$  $\rho=0$

**【结论3】** $( X, Y)$ 服从二维正态分布的充要条件是对于任一个非零线性组合 $\eta=a X+b Y$ 均服从一维正态分布。

单变量期望：$\mu_1=E(X),\mu_2=E(Y)$
 单变量方差：$\sigma_1^2=D(X),\sigma_2^2=D(Y)$
 线性关联程度：$\rho=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_1\sigma_2}$
解题第一步先标注所有已知参数，明确待求量与参数的关联（比如求$E(XY)$需先找$\text{Cov}(X,Y)$，再用公式$E(XY)=\text{Cov}(X,Y)+E(X)E(Y)$）。

**【结论4】** 若 $X, Y$ 不相关, 且均为正态随机变量, 则 $X, Y$ 不独立的充要条件是 $(X, Y)$ 不服从二维正态分布。

**【结论5】** 只要 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$, 无论 $X, Y$ 是否独立, (对于 $a, b$ 不全为 0 ) 均服从一维正态分布 $a X+b Y-N\left(a \mu_1+b \mu_2, a^2 \sigma_1^2+b^2 \sigma_2^2+2 a b \rho \sigma_1 \sigma_2\right)$, 若刚好 $X, Y$ 相互独立, 即 $\rho=0$, 则有: $a X+b Y \sim N\left(a \mu_1+b \mu_2, a^2 \sigma_1^2+b^2 \sigma_2^2\right)$

## 常见考点
这里给出5道二维正态分布的典型例题，是期末考试常见的考点，覆盖边缘分布、独立性、条件分布、线性组合等核心知识点，每道题都包含思路分析和详细解答，方便你巩固所学结论：

### 例题1： 边缘分布与参数求解

**题目**：设二维随机变量$(X,Y)\sim N(1,2;4,9;\frac{1}{2})$，求$X$和$Y$的边缘分布，并计算$E(XY)$。

**思路分析**：
1. 二维正态的边缘分布只与各自的期望和方差有关，与相关系数$\rho$无关；
2. 利用协方差公式$\text{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2$，再结合$E(XY)=\text{Cov}(X,Y)+E(X)E(Y)$计算。

**解答**：
1. 由二维正态分布的边缘分布性质，得：
   $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)=N(1,4)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)=N(2,9)$；
2. 计算协方差：$\text{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2=\frac{1}{2}\times2\times3=3$；
3. 计算$E(XY)$：$E(XY)=\text{Cov}(X,Y)+E(X)E(Y)=3+1\times2=5$。

### 例题2：独立性判断
**题目**：已知$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$，且$P\{X\le\mu_1,Y\le\mu_2\}=\frac{3}{4}$，判断$X$与$Y$是否独立。

**思路分析**：
1. 二维正态变量独立的充要条件是$\rho=0$；
2. 若$\rho=0$，则$X$与$Y$独立，此时$P\{X\le\mu_1,Y\le\mu_2\}=P\{X\le\mu_1\}P\{Y\le\mu_2\}$，结合正态分布的对称

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