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概率论与数理统计
第三篇 多维随机变量及其分布
二维均匀分布
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更新:
2023-10-01 11:28
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二维均匀分布
定义1 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{S_G}, & (x, y) \in G, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$ 其中 $G$ 是平面 $x o y$ 上的某个区域, $S_G$ 为区域 $G$ 的面积, 则称随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的二维均匀分布. 例1 设 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G=\{(x, y): 0<x<1$ 且 $0<y<2 x\}$ （1）写出f(x,y)的联合密度函数 （2）计算概率 (1)因区域区的面积为 1 ，故由定义得联合密度函数为: $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}1 & (x, y) \in G, \\ 0 & \text { 其他. }\end{array}\right.$  (2) 所求概率为 $$ P(Y \leq X)=P((X, Y) \in D)=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_D 1 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=S_D=\frac{1}{2} $$ 
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二维连续型随机变量及其联合密度函数
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