最后更新: 2025-09-26 09:09 查看: 1031 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二维均匀分布

### 引入
对于初学者刚学习二维均匀分布时，最容易产生的一个疑问是：为什么要学习均匀分布？他有什么用？ 
对于均匀分布必须结合本课程后面统计学来看。比如看一个简单的例子，雨点均匀的落在盘子里，基本上不需要额外的知识，我们本能的就能感觉，雨点落在每个地方的几率是一样的，假设盘子是正方形，其半径为$a$,那么正方形的面积就是$a^2$,这样，每一点的概率就是$\frac{1}{a^2}$,
同样的，如果盘子是圆，半径为$r$，盘子的面积就是$\pi r^2$,那么每一点的概率就是$\frac{1}{\pi r^2}$,由此推出如果盘子的面积为$S$，每一点的概率就是$\frac{1}{S}$. 这种推理是正确的，但是我们需要更抽象这种定义。正方形，圆都是比较简单的图像，如果盘子的图形是各种不规则图形呢？这时就需要采用微积分的思想来计算面积。

还必须注意一点：像雨点落在盘子上这种分布是很容易想到是二维均匀分布的，但是在实际中，我们拿到一个事件可能并不容易得到他是一个什么分布，比如车轮在马路上行驶，已知车轮面积是S，每一点的概率是$\frac{1}{S}$,那么，我们就可以倒推过去，说这个车轮是二维均匀分布。

## 二维均匀分布
根据多维随机变量的性质，假设$f(x,y)$为二维均匀分布密度函数，那么他的密度函数应该满足下面两个条件：
性质① $f(x, y) \geq 0$
性质② $ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y d x=1$

既然叫做“均匀分布”，我们有理由相信，密度函数在各点的密度应该相等(否则就不可能叫均匀分布了，比如雨滴落在圆板上，圆板上各点受到的雨滴几率相等)，因此，我们假设二维均匀密度函数为

$$
f(x, y)= \begin{cases}c, & x^2+y^2 \le r^2 ， \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

现在，我们要计算$c$的值为多少。根据密度函数“性质②”应该有

$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} c  dy d x=1 $ ，其中，定义域为 $x^2+y^2 \le r^2$ 的圆,

这是一个简单的[二重积分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=406), 因为$c$是常数，可以直接提到外面，即

c$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}   dy d x=1 $ ,$dydx$ 是面积元，积分后得 $c \pi r^2=1$ ，所以
$c=\frac{1}{\pi r^2}$ ，即下图圆柱的高为$\frac{1}{\pi r^2}$

![图片](/uploads/2024-11/6441f5.jpg){width=200px}

因此圆盘的二维均匀密度函数为

$$
f(x, y)= \begin{cases}\dfrac{1}{\pi r^2}, & x^2+y^2 \le r^2 ， \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

> 在上面举的例子里，雨滴随机的落在半径为$r$的圆上，从几何概率的角度也可以猜想，各个点密度为$\dfrac{1}{\pi r^2}$，即面积的倒数。(同理可以推出，一维是长度的倒数，二维是面积的倒数，三维是体积的倒数)

下面给出具体的定义。

**定义1** 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：二维连续型联合分布举例

下一篇：二维正态分布

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)