最后更新: 2025-05-01 18:19 查看: 745 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二维连续型随机变量及其联合密度函数

> 本文基础定义已经整合到 联合分布函数里，详见 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=537)

## 二维连续型随机变量及其联合密度函数
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$ ，如果存在二元非负实值函 数 $f(x, y)$ ，使得对任意的 $(x, y) \in R^2$ 有

$$
F(x, y)=P(X \leq x, Y \leq y)=\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u, v) d u d v=\iint_{D_y} f(u, v) d u d v
$$

则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，称 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合 (概率) 密度函数.

## 定义n维随机变量与联合密度
设 $n$ 维随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合分布函数为 $F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，如果存在一个 $n$ 元非负 函数 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ ，使得对任意的 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in R^n$ 有

$$
F\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f\left(u_1, u_2, \cdots, u_n\right) d u_1 d u_2 \cdots d u_n
$$

成立，则称 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量， $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为 $n$ 维连续型随机变量 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 的联合 (概率) 密度函数。

### 联合密度函数的性质
设 $f(x, y)$ 为二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数，则
（1） 非负性 $f(x, y) \geq 0,-\infty<x, y<+\infty$;
（2）规范性 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1$.

（3）任意一条平面曲线 $L$ ，有 $P((X, Y) \in L)=0$ ；
（4）$ F(x, y)$ 为连续函数，在 $f(x, y)$ 的连续点处有

$$
\frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) ;
$$

（5）对 $xoy$ 平面上任意一区域 $D$ ，有

$$
P((X, Y) \in D)=\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

##  联合分布的几何解释

我们容易给出分布函数的几何解释：如果把二维随机变量 $(X, Y)$ 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数 $F(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处的函数值就是随机点 $(X, Y)$ 落在直线 $X=x$ 的左侧和直线 $Y=y$ 的下方的无穷矩形域内的概率，如下图3-1所示．
 
  ![图片](/uploads/2025-02/0c7343.jpg)
 
> **对于联合分布，用通俗语言理解是，例如用$X$表示学生的身高，用$Y$表示学生的体重，那么联合分布  $F(170,60)=P(X \leqslant 170, Y \leqslant 60)$ 表示的是：身高低于170cm，体重低于60kg的学生的分布。这句话还可以正面解释为求：身高在$(-\infty,170)$ 与 体重在 $(-\infty,60)$ 的学生的分布。**

因此，给出一个点$(X,Y)$，求他的联合分布，其实表示的该点“**左边下边**”所围成的面积（参考图3-1阴影部分面积）。
 
 
根据以上的几何解释，借助于图3-2，我们可以计算出随机点 $(X, Y)$ 落在矩形域 $\left\{(x, y) \mid x_1<x \leqslant x_2, y_1<y \leqslant y_2\right\}$ 内的概率为

![图片](/uploads/2025-02/ce31ce.jp

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：二维离散型联合分布举例

下一篇：二维连续型联合分布举例

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)