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二维离散型联合分布举例

## 二维离散型举例

`例` 一家大型保险公司为一些客户提供服务，这些客户既购买了车险，又购买了财险。每种类型的保单都有一定的免赔额，车险的免赔额为 100 元或 250 元，财险的免赔额为 0 元、 100 元或 200 元。假设一个人同时购买了这两种保险，$X$ 表示车险的免赔额，$Y$ 表示财险的免赔额．根据该保险公司的历史数据可以得到随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律如下．
 ![图片](/uploads/2025-09/8016f7.jpg)
 求：（1）客户财险的免赔额不低于 100 元的概率；（2）客户的免赔总额不超过 300 元的概率．

解（1）财险的免赔额不低于 100 元即随机变量 $Y \geqslant 100$ ，包含了 $Y=100$ 和 $Y=200$ 两种情况，这里 $X$ 在 100 和 250 中任意取值，故

$$
\begin{aligned}
& P\{Y \geqslant 100\}=P\{X=100, Y=100\}+P\{X=100, Y=200\}+P\{X=250, Y=100\}+P\{X=250, Y= \\
200\} & =0.75
\end{aligned}
$$

（2）免赔总额不超过 300 元即 $X+Y \leqslant 300$ ，由题意可得其概率为

$$
\begin{aligned}
& P\{X+Y \leqslant 300\}=P\{X=100, Y=0\}+P\{X=100, Y=100\}+P\{X=100, Y=200\}+P\{X=250, Y= \\
0\}= & 0.55
\end{aligned}
$$

`例`设袋中有 4 个白球及 5 个红球, 现从中随机地抽取两次, 每次取一个, 定义随机变量 $X 、 Y$ 如下:
$$
X=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 第一次摸出白球 } \\
1, & \text { 第一次摸出红球 }
\end{array} \quad \quad Y=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { 第二次摸出白球 } \\
1, & \text { 第二次摸出红球 }
\end{array}\right. \text {. }\right.
$$

写出下列两种试验的随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布与边缘分布.
（1）有放回摸球;（2）无放回摸球。
解 (1) 采取有放回摸球时, $(X, Y)$ 的联合分布与边缘分布如表 3.2.1 所示.
 ![图片](/uploads/2024-11/f3af80.jpg){widht=400px}
 
 （2）无放回摸球。
 ![图片](/uploads/2024-11/336103.jpg){widht=400px}

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010322d981d.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_202301036130eb0.png)

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