最后更新: 2025-09-26 09:00 查看: 601 次纠错评论(0) 课件开VIP

二维连续型联合分布举例

## 二维连续型随机变量的边缘密度函数

设 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量, 其概率密度为 $f(x, y)$, 由定义可得 $X$ 的边缘分布函数

$$
\begin{aligned}
F_X(x) & =P(X \leqslant x)=P(X \leqslant x, y<+\infty) \\
& =\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^{+\infty} f(s, t) d s d t=\int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(s, t) d t\right] d s .
\end{aligned}
$$

进而可得 $X$ 的边缘密度函数为

$$
f_X(x)=\frac{d F_X(x)}{d x}=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y .
$$

同理, $Y$ 是连续型随机变量, 且其边缘密度函数为

$$
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x .
$$

分别称 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 为 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘分布密度或边缘概率密度.

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 具有联合概率密度

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
6, & x^2 \leqslant y \leqslant x \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$

`例` 一家银行的服务包括人工服务和自助服务．在一天中，$X$ 表示接受人工服务所花费的时间，$Y$ 表示自助服务所花费的时间．二维随机变量 $(X, Y)$ 所有可能取值的集合为 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$（单位： h$),(X, Y)$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{6}{5}\left(x+y^2\right), & 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

求人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率，即求 $P\left\{0 \leqslant X \leqslant \frac{1}{4}, 0 \leqslant Y \leqslant \frac{1}{4}\right\}$ ．
解

$$
\begin{aligned}
P\left\{0 \leqslant X \leqslant \frac{1}{4}, 0 \leqslant Y \leqslant \frac{1}{4}\right\} & =\int_0^{\frac{1}{4}} \int_0^{\frac{1}{4}} \frac{6}{5}\left(x+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{6}{5} \int_0^{\frac{1}{4}} \int_0^{\frac{1}{4}} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\frac{6}{5} \int_0^{\frac{1}{4}} \int_0^{\frac{1}{4}} y^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =\frac{6}{20} \times\left.\frac{x^2}{2}\right|_0 ^{\frac{1}{4}}+\frac{6}{20} \times\left.\frac{y^3}{3}\right|_0 ^{\frac{1}{4}} \\
& =\frac{7}{640} \approx 0.01
\end{aligned}
$$

因此，人工服务和自助服务的时间均不超过一刻钟的概率约为 0.01 ，这个概率是非常小的．

`例`求边缘概率密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$.
解

$$
\begin{aligned}
& f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\left\{\begin{array}{ll}
\int_{x^2}^x 6 d y=6\left(x-x^2\right), & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array},\right. \\
& f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x=\left\{\begin{array}{ll}
\int_y^{\sqrt{y}} 6 d x=6(\sqrt{y}-y), & 0 \leqslant y \leqslant 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103746017f.png)

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103b301e3f.png)

## 定理1
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho\right)$ ，则 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$.
证明 $\Omega_X=\Omega_Y=(-\infty,+\infty)$ ， 由边缘密度函数的定义得

$$
\begin{aligned}
& f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 \pi \sigma_1 \sigma_2 \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^2\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{\sigma_1^2}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_1\right)\left(y-\mu_2\right)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} d y \\
& =\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{-\frac{(v-\rho u)^2}{2\left(1-\rho^2\right)}\right\} d v=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \\
&
\end{aligned}
$$

> 上面例子说明，如果$X,Y$服从正态分布，那么$X$和$Y$都服从正态分布。

![图片](/uploads/2023-01/image_20230103fd14703.png)

`例` 设 $(X, Y)$ 在区域 $G=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 1\}$ 上服从均匀分布，令

$$
U=\left\{\begin{array}{l}
0, X \leq Y, \\
1, X>Y .
\end{array} \quad V=\left\{\begin{array}{l}
0, X \leq 2 Y \\
1, X>2 Y
\end{array}\right.\right.
$$
求 $(U, V)$ 的联合分布律．

解 由于 $(X, Y)$ 在 $G$ 上服从均匀分布，因此 $(X, Y)$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}
\frac{1}{2}, & (x, y) \in G, \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& P\{U=0, V=0\}=P\{X \leq Y, X \leq 2 Y\}=P\{X \leq Y\}=\int_0^1 d y \int_0^y \frac{1}{2} d x=\frac{1}{4} \\
& P\{U=0, V=1\}=P\{X \leq Y, X>2 Y\}=0 \\
& P\{U=1, V=0\}=P\{X>Y, X \leq 2 Y\}=P\{Y<X \leq 2 Y\}=\int_0^1 d y \int_y^{2 y} \frac{1}{2} d x=\frac{1}{4} \\
& P\{U=1, V=1\}=P\{X>Y, X>2 Y\}=P\{X>2 Y\}=\int_0^2 d x \int_0^{\frac{1}{2} x} \frac{1}{2} d y=\frac{1}{2}
\end{aligned}\\
&\text { 即 }(U, V) \text { 的联分布律为 }
\end{aligned}
$$

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