最后更新: 2025-05-02 05:28 查看: 351 次反馈刷题

二维条件分布

## 二维离散型随机变量的条件分布

**定义** 设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量, 对于固定的 $j$, 若 $P\left(Y=y_j\right)>0$, 则称

$$
P\left(X=x_i \mid Y=y_j\right)=\frac{P\left(X=x_i, Y=y_j\right)}{P\left(Y=y_j\right)}, \quad i=1,2, \cdots,
$$

为在 $Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布列（Conditional Distribution）。
同样, 对于固定的 $i$, 若 $P\left(X=x_i\right)>0$, 则称 $P\left(Y=y_j \mid X=x_i\right)=\frac{P\left(X=x_i, Y=y_j\right)}{P\left(X=x_i\right)}, j=1,2, \cdots$为在 $X=x_i$ 条件下随机变量 $Y$ 的条件分布列.

## 二维连续型随机变量的条件分布
对于连续型随机变量 $(X, Y)$, 因为 $P(X=x, Y=y)=0$, 所以不能直接由离散的定义条件分布, 但是对于任意的 $\varepsilon>0$, 若 $P(y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)>0$, 则可以考虑

$$
P(X \leqslant x \mid y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)=\frac{P(X \leqslant x, y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)}{P(y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)} .
$$

当 $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$时, 上述条件概率的极限存在, 自然可以将此极限值定义为在 $Y=y$ 条件下 $X$ 的条件分布.

定义 设对于任何固定的 $\varepsilon>0, P(y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)>0$, 若

$$
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} P(X \leqslant x \mid y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{P(X \leqslant x, y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)}{P(y-\varepsilon<Y \leqslant y+\varepsilon)}
$$

存在, 则称此极限为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件分布函数, 记为 $P(X \leqslant x \mid Y=y)$ 或 $F_{X \mid Y}(x \mid y)$.设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)$ ，分布密度函数为 $f(x, y)$ ，且 $f(x, y)$和边缘分布密度函数 $f_Y(y) \quad\left(f_Y(y)>0\right)$ 连续，不难验证，在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件分布函数为

$$
F_{X \mid Y}(x \mid y)=\int_{-\infty}^x \frac{f(u, y)}{f_Y(y)} d u .
$$

若记 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件分布密度, 则

$$
f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_Y(y)} .
$$

类似地, 若边缘分布密度函数 $f_X(x) \quad\left(f_X(x)>0\right)$ 连续, 则在 $X=x$ 的条件下 $Y$ 的条件分布函数为

$$
F_{Y \mid X}(y \mid x)=\int_{-\infty}^y \frac{f(x, v)}{f_X(x)} d v .
$$

若记 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$ 为在 $X=x$ 的条件下 $Y$ 的条件分布密度, 则
$$
f_{Y \mid X}(y \mid x)=\frac{f(x, y)}{f_X(x)} .
$$

`例`一射手进行射击，击中的概率为 $p(0<p<1)$ ，射击到击中目标两次为止．记 $X$表示首次击中目标时的射击次数，$Y$ 表示射击的总次数．试求 $X, ~ Y$ 的联合分布列与条件分布列．

解 依题意，$X=m, Y=n$ 表示前 $m-1$ 次不中，第 $m$ 次击中，接着又 $n-1-m$ 次不中，第 $n$ 次击中．因各次射击是独立的，故 $X, ~ Y$ 的联合分布列为
$$
P(X=m, Y=n)=p^2(1-p)^{n-2}, \quad 1 \leqslant m<n=2,3, \cdots,
$$

又因

$$
\begin{gathered}
P(X=m)=\sum_{n=m+1}^{\infty} P(X=m, Y=n)=\sum_{n=m+1}^{\infty} p^2(1-p)^{n-2} \\
=p^2 \sum_{n=m+1}^{\infty}(1-p)^{n-2}=p(1-p)^{m-1}, \quad m=1,2, \cdots, \\
P(Y=n)=(n-1) p^2(1-p)^{n-2}, \quad n=2,3, \cdots
\end{gathered}
$$

因此，所求的条件分布列为

$$
\begin{aligned}
& P(X=m \mid Y=n)=\frac{P(X=m, Y=n)}{P(Y=n)}=\frac{p^2(1-p)^{n-2}}{(n-1) p^2(1-p)^{n-2}}=\frac{1}{n-1}, \quad 1 \leqslant m<n=2,3, \cdots \\
& P(Y=n \mid X=m)=\frac{P(X=m, Y=n)}{P(X=m)}=\frac{p^2(1-p)^{n-2}}{p(1-p)^{m-1}}=p(1-p)^{n-m-1}, \quad m<n, m=1,2, \cdots
\end{aligned}
$$

`例`设随机变量 $X \sim U(0,1)$ ，当观察到 $X=x(0<x<1)$ 时，$Y \sim U(x, 1)$ ，求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 。

解 按题意，$X$ 具有概率密度

$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & 0<x<1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$

类似地，对于任意给定的值 $x(0<x<1)$ ，在 $X=x$ 的条件下，$Y$ 的条件概率密度

$$
f_{Y \mid X}(y \mid x)= \begin{cases}\frac{1}{1-x}, & x<y<1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$

因此，$X$ 和 $Y$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)=f_{Y \mid X}(y \mid x) f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{1-x}, & 0<x<y<1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array},\right.
$$

于是，关于 $Y$ 的边缘概率密度为

$$
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x=\left\{\begin{array}{ll}
\int_0^y \frac{1}{1-x} d x=-\ln (1-y), & 0<y<1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$

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