最后更新: 2025-09-26 09:49 查看: 442 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

二维条件分布

>考察某城市的全体居民，从中随机地抽取一个居民，假设该居民的收入和支出分别为随机变量X和Y，则X, Y各自的分布为边缘分布，(X ,Y )的分布为联合分布．对联合分布与边缘分布的研究有助于我们了解这个城市收入与支出的情况，除此之外，我们还希望了解在收入固定时支出的分布规律，例如当X=5 000（元）时，Y的分布，也就是条件分布．很显然，是否有“X=5 000”这个条件，支出Y的分布是不一样的，因此，对条件分布的研究非常有必要，它突显了在一个随机变量取值固定的条件下，另一个随机变量的统计规律

## 二维离散型随机变量的条件分布

**定义** 设 $(X, Y)$ 是二维离散型随机变量, 对于固定的 $j$, 若 $P\left(Y=y_j\right)>0$, 则称

$$
P\left(X=x_i \mid Y=y_j\right)=\frac{P\left(X=x_i, Y=y_j\right)}{P\left(Y=y_j\right)}, \quad i=1,2, \cdots,
$$

为在 $Y=y_j$ 条件下随机变量 $X$ 的条件分布列（Conditional Distribution）。
同样, 对于固定的 $i$, 若 $P\left(X=x_i\right)>0$, 则称 $P\left(Y=y_j \mid X=x_i\right)=\frac{P\left(X=x_i, Y=y_j\right)}{P\left(X=x_i\right)}, j=1,2, \cdots$为在 $X=x_i$ 条件下随机变量 $Y$ 的条件分布列.

`例` 一个加油站既有自助服务，又有人工服务．在一次加油中，令X表示特定时间内自助加油使用的油枪数量，Y表示人工加油使用的油枪数量.随机变量( X,Y )的联合分布律

![图片](/uploads/2025-09/e8dbad.jpg)
 
 当 $X=1$ 时，求 $Y$ 的条件分布律．
解 由联合分布律可以求出：$P\{X=1\}=0.08+0.20+0.06=0.34$ ．根据条件分布律的定义可知，

$$
P\{Y=0 \mid X=1\}=\frac{P\{X=1, Y=0\}}{P\{X=1\}}=\frac{0.08}{0.34}=\frac{4}{17},
$$

$$
\begin{aligned}
& P\{Y=1 \mid X=1\}=\frac{P\{X=1, Y=1\}}{P\{X=1\}}=\frac{0.20}{0.34}=\frac{10}{17}, \\
& P\{Y=2 \mid X=1\}=\frac{P\{X=1, Y=2\}}{P\{X=1\}}=\frac{0.06}{0.34}=\frac{3}{17} .
\end{aligned}
$$

所以，当 $X=1$ 时，$Y$ 的条件分布律如下．

![图片](/uploads/2025-09/635399.jpg)

## 二维连续型随机变量的条件分布
### 引例
二元连续型要比离散型复杂，先看一个例子．
设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

$$
f(x, y)= \begin{cases}3 x, & 0<x<1,0<y<x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

求概率 $P\left\{\left.Y \leqslant \frac{1}{8} \right\rvert\, X=\frac{1}{4}\right\}$ ．
分析 $P\left\{\left.Y \leqslant \frac{1}{8} \right\rvert\, X=\frac{1}{4}\right\}$ 是否等于 $\frac{P\left\{X=\frac{1}{4}, Y \leqslant \frac{1}{8}\right\}}{P\left\{X=\frac{1}{4}\right\}}$ 呢？
因为 $P\left\{X=\frac{1}{4}\right\}=0$ ，所以 $P\left\{\left.Y \leqslant \frac{1}{8} \right\rvert\, X=\frac{1}{4}\right\} \neq \frac{P\left\{X=

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