阅读：傅里叶变换与概率论

> **本节属于高深内容，仅供了解即可** 在概率论中，我们经常会看到很多复杂的公式，包括概率密度公式，分布函数公式，一个简单的问题是：这些公式是怎么得到的？一个常见的解决方法是使用傅里叶变换。

给定一个函数 $K(x, y)$ 和一个区间 $I$（通常是 $(-\infty, \infty)$ 或 $[0, \infty)$ ），我们可以构造一个从函数到函数的映射，如下所示：

$$
( K f)(y):=\int_I f(x) K(x, y) d x
$$

由于被积函数与两个变量 $x$ 和 $y$ 都有关，而我们只对 $x$ 积分，所以最终的结果是关于 $y$ 的函数。显然，用什么字母来表示虚拟变量并不重要，其他常见写法有 $K(t, x), ~ K(t, s)$ 或者 $K(x, \xi)$ 。我们把 $K$ 称为核，新函数称为 $f$ 的**积分变换**．

积分变换对于研究各种问题都很有用。它们的效用源于这样一个事实：相关函数会使得手头问题的代数运算更加简单。我们定义了两个最重要的积分变换，即拉普拉斯变换和傅里叶变换。

定义 （**拉普拉斯变换**）设 $K(t, s)= e ^{-t s} . f$ 的拉普拉斯变换记作 $L f$ ，被定义为

$$
( L f)(s)=\int_0^{\infty} f(t) e^{-s t} d t
$$

对于给定的函数 $g$ ，它的拉普拉斯逆变换，记作 $L ^{-1} g$ ，就是

$$
\left( L ^{-1} g\right)(t)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i T}^{c+i T} e^{s t} g(s) d s=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-T}^T e^{(c+i \tau) t} g(c+i \tau) i d \tau
$$

定义  （**傅里叶变换或称特征函数**）设 $K(x, y)= e ^{-2 \pi i x y} . f$ 的傅里叶变换记作 $F f$ 或 $\widehat{f}$ ，其定义为

$$
\widehat{f}(y):=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x y} d x,
$$

其中

$$
e^{i \theta}:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i \theta)^n}{n!}=\cos \theta+i \sin \theta
$$

$g$ 的傅里叶逆变换，记作 $F ^{-1} g$ ，就是

$$
\left( F ^{-1} g\right)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} g(y) e^{2 \pi i x y} d y .
$$

注意，其他教材对傅里叶变换有不同的定义，有时会利用 $K(x, y)= e ^{-i x y}$ 或 $K(x, y)= e ^{-i x y} / \sqrt{2 \pi}$ ．

拉普拉斯变换和傅里叶变换是相关的．令 $s=2 \pi i y$ 并考虑函数 $f(x)$ ，其中，当 $x \leqslant 0$ 时 $f(x)=0$ ．那么，我们会看到 $f$ 的拉普拉斯变换和傅里叶变换是相等的．

在这里，我们把 $f$ 的傅里叶变换写成

$$
\widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{\in

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