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阅读：傅里叶变换与概率论

> **本节属于高深内容，仅供了解即可** 在概率论中，我们经常会看到很多复杂的公式，包括概率密度公式，分布函数公式，一个简单的问题是：这些公式是怎么得到的？一个常见的解决方法是使用傅里叶变换。

给定一个函数 $K(x, y)$ 和一个区间 $I$（通常是 $(-\infty, \infty)$ 或 $[0, \infty)$ ），我们可以构造一个从函数到函数的映射，如下所示：

$$
( K f)(y):=\int_I f(x) K(x, y) d x
$$

由于被积函数与两个变量 $x$ 和 $y$ 都有关，而我们只对 $x$ 积分，所以最终的结果是关于 $y$ 的函数。显然，用什么字母来表示虚拟变量并不重要，其他常见写法有 $K(t, x), ~ K(t, s)$ 或者 $K(x, \xi)$ 。我们把 $K$ 称为核，新函数称为 $f$ 的**积分变换**．

积分变换对于研究各种问题都很有用。它们的效用源于这样一个事实：相关函数会使得手头问题的代数运算更加简单。我们定义了两个最重要的积分变换，即拉普拉斯变换和傅里叶变换。

定义 （**拉普拉斯变换**）设 $K(t, s)= e ^{-t s} . f$ 的拉普拉斯变换记作 $L f$ ，被定义为

$$
( L f)(s)=\int_0^{\infty} f(t) e^{-s t} d t
$$

对于给定的函数 $g$ ，它的拉普拉斯逆变换，记作 $L ^{-1} g$ ，就是

$$
\left( L ^{-1} g\right)(t)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i T}^{c+i T} e^{s t} g(s) d s=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi i} \int_{-T}^T e^{(c+i \tau) t} g(c+i \tau) i d \tau
$$

定义  （**傅里叶变换或称特征函数**）设 $K(x, y)= e ^{-2 \pi i x y} . f$ 的傅里叶变换记作 $F f$ 或 $\widehat{f}$ ，其定义为

$$
\widehat{f}(y):=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x y} d x,
$$

其中

$$
e^{i \theta}:=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i \theta)^n}{n!}=\cos \theta+i \sin \theta
$$

$g$ 的傅里叶逆变换，记作 $F ^{-1} g$ ，就是

$$
\left( F ^{-1} g\right)(x)=\int_{-\infty}^{\infty} g(y) e^{2 \pi i x y} d y .
$$

注意，其他教材对傅里叶变换有不同的定义，有时会利用 $K(x, y)= e ^{-i x y}$ 或 $K(x, y)= e ^{-i x y} / \sqrt{2 \pi}$ ．

拉普拉斯变换和傅里叶变换是相关的．令 $s=2 \pi i y$ 并考虑函数 $f(x)$ ，其中，当 $x \leqslant 0$ 时 $f(x)=0$ ．那么，我们会看到 $f$ 的拉普拉斯变换和傅里叶变换是相等的．

在这里，我们把 $f$ 的傅里叶变换写成

$$
\widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2 \pi i x y} d x,
$$

定义（**施瓦兹空间**）施瓦兹空间（记作 $S ( R )$ ）是全体满足下列条件的无限可微函数 $f$ 构成的集合：对于任意的非负整数 $m$ 和 $n$ ，有

$$
\sup _{x \in R }\left|\left(1+x^2\right)^m \frac{d^n f}{d x^n}\right|<\infty,
$$

其中， $\sup _{x \in R }|g(x)|$ 是使得＂$|g(x)| \leqslant B$ 对所有 $x$ 均成立＂的最小的数 $B$（每当看到 $\sup$ 时，你就应该想到＂最大值＂）。

定理 （**反演定理**）设 $f \in S ( R )$ ，其中 $S ( R )$ 是施瓦兹空间．那么

$$
f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \widehat{f}(y) e^{2 \pi i x y} d y
$$

其中 $\widehat{f}$ 是 $f$ 的傅里叶变换．特别地，如果 $f$ 和 $g$ 都是施瓦兹函数，并且它们的傅里叶变换相同，那么 $f(x)=g(x)$ ．

傅里叶变换的一个重要性质是在卷积的作用下它具有很好的性质。回忆一下，两个函数 $f$ 和 $g$ 的卷积记作 $h=f * g$ ，其中

$$
h(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(x-t) d t=\int_I f(x-t) g(t) d t .
$$

我们自然会问：为了确保卷积存在，$f$ 和 $g$ 必须满足哪些条件？对我们来说，$f$和 $g$ 都是概率密度函数。因此，它们都是非负的且积分值都等于 1 ．虽然这是确保 $h=f * g$ 的积分值为 1 所需要的条件，但并不足以保证 $f * g$ 是有限的．我们先来证明它的积分值为 1 ．因为被积函数是非负的，所以可以交换积分次序．注意，对于每一个 $x$ ，积分值要么是非负的，要么是正无穷．我们有

$$
\begin{aligned}
\int_{x=-\infty}^{\infty}(f * g)(x) d x & =\int_{x=-\infty}^{\infty} \int_{t=-\infty}^{\infty} f(t) g(x-t) d t d x \\
& =\int_{t=-\infty}^{\infty} f(t)\left[\int_{x=-\infty}^{\infty} g(x-t) d x\right] d t
\end{aligned}
$$

括号里的积分是 1 ．如果愿意的话，你可以做变量替换，令 $u=x-t, d u= d x$ ．现在我们正在计算一个概率密度函数在 $-\infty$ 到 $\infty$ 上的积分，这个值始终为 1 ．接下来只剩下了

$$
\int_{x=-\infty}^{\infty}(f * g)(x) d x=\int_{t=-\infty}^{\infty} f(t) d t=1,
$$

得到这个结果同样是因为概率密度函数在 $-\infty$ 到 $\infty$ 上的积分值为 1 ．这意味着，只有在测度（或长度）为无穷大的集合上，非负函数 $(f * g)(x)$ 的值才等于 0 。如果不熟悉测度论也不必担心，这里还有另外一种说法：对于任意的 $M,\{x:(f * g)(x)>M\}$的长度不超过 $1 / M$ ；否则，积分值就会大于 1 ．

这证明了对几乎所有的 $x,(f * g)(x)$ 都是有限的．$f$ 和 $g$ 必须满足哪些条件，才能保证对所有的 $x$ ，其卷积始终是有限的？如果假设 $f$ 和 $g$ 是平方可积的，即 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)^2 d x$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty} g(x)^2 d x$ 都是有限的，那么 $f * g$ 在每一点处都有很好的性质。稍后我们将看到如何利用柯西－施瓦兹不等式来推出这一点

**柯西－施瓦兹不等式**：对于复值函数 $f$ 和 $g$ ，

$$
\int_{-\infty}^{\infty}|f(x) g(x)| d x \leqslant\left(\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 d x\right)^{1 / 2} \cdot\left(\int_{-\infty}^{\infty}|g(x)|^2 d x\right)^{1 / 2}
$$

$f$ 和 $g$ 是平方可积的这一假设非常弱，我们研究的所有标准概率密度函数都能满足．即使不满足平方可积的条件，这通常也没什么问题．例如，令

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2 \sqrt{x}} & \text { 若 } 0<x \leqslant 1 \\ 0 & \text { 其他, }\end{cases}
$$

那么，$f$ 可积但不是平方可积的，这是因为 $\int_0^1 d x / x$ 趋向于无穷大．也就是说，$f$ 与自身的卷积是很好的．在做＂一些＂积分运算之后，你会发现

$$
(f * f)(y)= \begin{cases}\pi / 4 & \text { 若 } 0<y \leqslant 1 \\ (\operatorname{arccsc}(\sqrt{y})-\arctan (\sqrt{y-1})) / 2 & \text { 若 } 1<y<2 \\ 0 & \text { 其他. }\end{cases}
$$

现在陈述一个很好的结果．正因为如此，傅里叶变换才会在概率论中如此普遍．这是一个非常重要的结果，我们会给出完整的证明．

## 卷积与傅里叶变换
定理 （**卷积与傅里叶变换**）设 $f$ 和 $g$ 都是 $R$ 上的连续函数．如果 $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2 d x$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty}|g(x)|^2 d x$ 都是有限的，那么 $h=f * g$ 存在，并且 $\widehat{h}(y)=\widehat{f}(y) \widehat{g}(y)$ ．因此，傅里叶变换将卷积转换为乘法运算．

**引理**  设 $X_1$ 和 $X_2$ 是两个相互独立的随机变量，它们的概率密度函数分别是 $f$ 和 $g$ ．设 $f$ 和 $g$ 均是平方可积的概率密度函数，那么 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)^2 d x$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty} g(x)^2 d x$ 是有限的．因此，$f * g$ 是 $X_1+X_2$ 的概率密度函数．更一般地，如果 $X_1, \cdots, X_N$ 是相互独立的随机变量，它们的概率密度函数 $p_1, \cdots, p_N$ 都是平方可积的，那么 $p_1 * p_2 * \cdots * p_N$ 是 $X_1+\cdots+X_N$ 的概率密度函数．

虽然本节介绍了大量内容和结果，但我们开始看到整体框架了．如果给出 $N$个相互独立且概率密度函数分别为 $p_1, \cdots, p_N$ 的随机变量，那么变量和的概率密度函数就是 $p=p_1 * \cdots * p_N$ 。乍一看，这个等式好像很可怕（对于 $N$ 个服从指数分布的随机变量，其概率密度函数的卷积是什么？），但这里有一个显著的简化过程．根据卷积的傅里叶变换就是傅里叶变换的乘积，我们看到 $\widehat{p}(y)=\widehat{p}_1(y) \cdots \widehat{p}_N(y)$ ．在随机变量服从同一个分布的特殊情况下，这又进一步简化为 $\widehat{p}_1(y)^N$ ．此时，为了证明当所有概率密度函数都相等时的中心极限定理，我们＂只需要＂（遗憾的是，其中包含了很多内容）证明：当 $N \rightarrow \infty$ 时，$\widehat{p}_1(y)^N$ 会收玫到某个正态分布的傅里叶变换 （记住，这个和没有标准化），而且傅里叶逆变换被唯一确定且服从正态分布．

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