生成函数的唯一性和收敛性

## 生成函数的唯一性和收敛性
根据序列 $\left\{a_n\right\}_{n=0}^{\infty}$ 的具体形式，生成函数 $G_a(s)$ 可能对所有的 $s$ 均存在，也可能只对某些 $s$ 存在，还可能仅当 $s=0$ 时存在．（由于 $G_s(0)=a_0$ ，所以这没有太多实际意义！）

考虑下面的例子．
（1）最简单的情况是 $a_0=1$ 且其他项都满足 $a_n=0$ ，此时会得到 $G_a(s)=1$ ．更一般的情况是，除了有限多个 $n$ 之外，其余 $a_n$ 全为 0 ，那么 $G_a(s)$ 就是一个多项式。
（2）如果对所有的 $n$ 均有 $a_n=1$ ，那么由几何级数公式可得，$G_a(s)=\sum_{n=0}^{\infty} s^n=$ $\frac{1}{1-s}$ ．当然，为了使用几何级数公式，这里必须满足 $|s|<1$ ．对于较大的 $s$ ，上述级数不收玫。
（3）如果 $a_n=1 / n$ ！，那么 $G_a(s)=\sum_{n=0}^{\infty} s^n / n!$ ．这是 $e ^s$ 的定义，所以 $G_a(s)$ 对所有的 $s$ 均存在．
（4）如果 $a_n=2^n$ ，那么 $G_a(s)=\sum_{n=0}^{\infty} 2^n s^n=\sum_{n=0}^{\infty}(2 s)^n$ ．这是比值为 $2 s$ 的几何级数．当 $|2 s|<1$ 时级数收玫，当 $|2 s|>1$ 时级数发散．因此，如果 $|s|<1 / 2$ ，那么 $G_a(s)=(1-2 s)^{-1}$ ．
（5）如果 $a_n=n$ ！，那么不难看出，对于任意的 $|s|>0, G_a(s)$ 均发散。最容易看出该级数发散的方法是，对于任意一个固定的 $s \neq 0$ ，只要 $n$ 足够大，就有 $n!|s|^n>1$ ．因为级数中的项不趋向于 0 ，所以级数不能收玫．利用斯特林公式（参见第 18 章），我们可以估算 $n$ 必须取多大，才能保证 $n!|s|^n>1$ ．由斯特林公式可知，$n!\sim(n / e )^n \sqrt{2 \pi n}$ ，从而有 $n!|s|^n>(n|s| / e )^n . n!|s|^n$ 显然不会趋向于 0 ，因为当 $n> e /|s|$ 时，我们有 $n!|s|^n>1$ ．

如果有序列 $

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