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生成函数的定义

## 生成函数的定义

**定义** （生成函数）已知序列 $\left\{a_n\right\}_{n=0}^{\infty}$ ．它的生成函数被定义为

$$
G_a(s)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n s^n
$$

其中，$s$ 是使这个和收敛的任意数．

标准惯例是使用字母 $s$ 作为变量，然而它只是个虚拟变量，我们可以使用任何字母：$s, ~ x$ ， 或其它字母。

从更根本的的观点除非，生成函数犹如高中所学的，寻找数列的通项公式。

数学家拉普拉斯Laplace在其1812年出版的《概率的分析理论》中最先提出生成函数。而生成函数是推导斐波那契（Fibonacci）数列的通项公式方法之一，因此，我们也从斐波那契数列谈起

> **生成函数**（Generating Function）的核心思想是：**将一个数列编码成一个幂级数的系数**，从而利用级数的运算和性质来研究数列本身。
简单说，如果有一个数列 $ a_0, a_1, a_2, \dots $，我们可以把它“放进”一个函数里：$G(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$
这个$ G(x) $ 就是数列 $\{a_n\}$ 的**普通生成函数**

## 斐波那契数列
 斐波那契数，其定义为 $F_0=0$ ， $F_1=1$ ，一般形式为 
 
 $$
 \boxed{
 F_n=F_{n-1}+F_{n-2}
 }
 $$ 
 
 它的前几项是 $0,1,1,2,3,5,8,13, \cdots$ ．
 
 > 斐波那契数来源背景：如果每对兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子.假定这些兔子都没有死亡现象，那么从第一对刚出生的兔子开始，12 个月以后会有多少对兔子呢？ 解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子， 共有 1+1=2 对兔子.第四个月：最初的一对兔子又生一对兔 子，共有 2+1=3 对兔子.则由第一个月到第十二个月兔子的 对数分别是,0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， ……，后人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波纳契， 将这个兔子数列称为斐波那契数列， 即把,0，1，1，2，3，5，8，13，21，34……这样的数列称为斐波那契数列
 
 
 
从原则上说，斐波那契数不存在任何奥秘，因为它有明确的公式，我们可以求出序列中的任何项．在实际应用中，这个公式显然不适用于较大的 $n$ ．虽然我们可以求出 $F_{10}=55$ ，但是计算 $F_{100}=354224848179261915075$ 会是件相当乏味无聊的事。如果用纸笔去计算 $F_{2011}$ ，则要引起警觉，因为它超过了 400位数字！

现在来展示生成函数是如何确定任意一个斐波那契数的，而不必计算之前的任何项！这个生成函数是
$$
G_F(s)=\sum_{n=0}^{\infty} F_n s^n
$$

我们单独给出 $n=0$ 和 $n=1$ 时的项．当 $n \geqslant 2$ 时，利用定义中的递推关系 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 可得

$$
\begin{aligned}
G_F(s) & =F_0+F_1 s+\sum_{n=2}^{\i

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