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概率论与数理统计
第三篇 多维随机变量及其分布
生成函数的引入
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更新:
2025-05-02 07:44
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生成函数的引入
数学中有种常见的抱怨:如果逐行地看,我可以理解整个证明,但谁又能想到要这样做呢!在概率论的所有领域中,生成函数是最容易出现这种抱怨的地方。乍一看,这似乎让我们的生活变得不必要地复杂。但是,在本文的后面,你会看到生成函数可以解决很多种的问题.此外,当你继续学习时,花在这些技巧上的时间会不断带来回报,因为这些技巧不仅适用于概率论,还贯穿于整个数学物理学。 这些技巧有这么大帮助的原因是,我们可以把问题的大量相关信息进行汇总。你可能会怀疑这样做是否值得,但我们会不断看到,这种新观点简化了需要做的代数运算。我们会从之前的课程中提取出一些具有启发性的例子,并说明改变观点是如何帮你节省时间的,然后再描述生成函数的一些性质和应用。虽然很多问题都难以找到可以正确使用的生成函数,但大量有用的问题都可以用一些小技巧来处理. 在概率论中,生成函数最重要的用途是理解随机变量的矩。正如我们所知道的,可以通过这些矩来了解分布的形状.生成函数的一个非常强大的应用就是证明中心极限定理。中心极限定理告诉我们,在很多情况下,对于相互独立的随机变量而言,随着变量个数的不断增加,变量和会趋向于一个高斯分布。 ## 动机 在数学中,我们经常遇到复杂的数据集,然后对它做运算,使它变得更加复杂!例如,假设第一个数据集是随机变量 $X_1$ 取给定值的概率,第二个数据集是随机变量 $X_2$ 取给定值的概率.利用这些信息,我们可以通过蛮力计算来确定 $X_1+X_2$ 取某个值的概率,但是仍希望可以尽量避免这些烦琐的计算, 接下来,我们将详细地研究这个问题的特殊情形,假设两个随机变量均服从泊松分布,我们看看如何通过引入生成函数来自动处理代数运算。 不妨设 $X_1$ 服从参
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