最后更新: 2025-12-13 21:51 查看: 180 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

多变量的卷积

我们已经成功地讨论了两个相互独立的随机变量之和的分布．在此基础上，我们来考察三个或更多个相互独立的随机变量之和的分布。设 $X_i$ 是概率密度函数为 $f_{X_i}$ 的随机变量． 如果 $U$ 和 $V$ 是两个相互独立的随机变量，那么 $f_{U+V}(z)=\left(f_U * f_V\right)(z)$ ．由此能不能求出 $f_{X_1+X_2+X_3}$ ，或者更一般的 $f_{X_1+\cdots+X_n}$ ？
答案是肯定的！

**定理：** （独立的随机变量之和）设 $X_1, X_2 \cdots, X_n$ 是相互独立的随机变量，它们的概率密度函数分别是 $f_{X_1}, f_{X_2}, \cdots, f_{X_n}$ ，那么

$$
f_{X_1+\cdots+X_n}(z)=\left(f_{X_1} * f_{X_2} * \cdots * f_{X_n}\right)(z)
$$

其中

$$
\left(f_1 * f_2 * \cdots * f_n\right)(z)=\left(f_1 *\left(f_2 * \cdots *\left(f_{n-2} *\left(f_{n-1} * f_n\right)\right) \cdots\right)\right)(z)
$$

我们已经证明了卷积是可交换的，也就是说 $f * g=g * f$ ．另外，卷积还满足结合律：$(f * g) * h=f *(g * h)$ ．记住，卷积要用两个函数作为输入，并返回一个函数作为输出．我们不能直接对三个函数求卷积．所以，如果给出了 $f * g * h$ ，就要小心地解释这是什么意思．因为卷积需要两个输入，所以这里有两种解释方法：$f * g * h$等于 $(f * g) * h$ 或者 $f *(g * h)$ ．幸运的是，因为卷积满足结合律，所以这两个表达式是相等的，写哪个都可以。虽然我们可以直接证明结合律，但没必要这样做．原因在于，我们只在乎关于概率密度函数的卷积定理，而且有个很好的技巧能让我们更自由地使用结合律．

**定理证明**：我们只考察 $n=3$ 的情形，一般情形下的结果可以类似地证明。

那么，现在就来考察 $Z=X_1+X_2+X_3$ ．我们把这个式子写成 $Z=\left(X_1+X_2\right)+$ $X_3$ ．这样做的好处是，对于两个相互独立的随机变量，它们的和的概率密度函数就是它们概率密度函数的卷积．（注意，因为 $X_3$ 独立于 $X_1$ 和 $X_2$ ，所以 $X_3$ 与它们的和也是相互独立的．）于是有

$$
f_Z(z)=\left(f_{X_1+X_2} * f_{X_3}\right)(z)
$$

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