最后更新: 2025-08-30 13:03 查看: 441 次反馈同步训练

傅里叶级数

## 傅里叶级数定义

1804年，数学家傅里叶首次提出一个结论：**在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单词的正弦与余弦之和**。但是傅里叶并没有给出严格的证明，1929年，德国数学家狄利克雷给出了周期函数的展开为傅里叶变换提供了理论依据。

## 时域与频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但**如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的**。
先看一下下图：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？一个随着时间变化的震动，这是我们对音乐最普遍的理解，很多音乐播放器也会使用此种背景图
  ![图片](/uploads/2025-01/746be1.jpg)
  
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
 ![图片](/uploads/2025-01/eebb9f.jpg)
 
 上图是音乐在**时域（时间定义域）** 的样子，而下图则是音乐在**频域（频率定义域）** 的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
 将以上两图简化：
 时域：
  ![图片](/uploads/2025-01/71d904.jpg)
频域：
 ![图片](/uploads/2025-01/d1f0fe.jpg)
 
 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)
 
## 任何图形都可以由正弦加余弦表示
正弦与余弦是常见的最基本的三角函数，如果我说使用正弦和余弦可以生成矩形你信吗？参考下图：

①第一幅图是一个郁闷的正弦波$\cos(x)$
②第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加$\cos(x)+a\cos(3x)$
③第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
④第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

![图片](/uploads/2025-01/a7d2b4.jpg){width=400px}

从这里可以看到，随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

下图展示了更为直观的演示

![图片](/uploads/2025-01/357cfe.gif){width=400px}

> **从上面的解释可以得出，任根一个函数都可以写成无数个正弦和余弦的叠加和。**

## 理解：坐标变换
所谓变换，通俗的说就是从“**从一个坐标系变化到另外一个坐标系**”的改变。

大家知道，直角坐标系、极坐标系之间可以相互转换：

![图片](/uploads/2025-08/0ebfe5.jpg){width=500px}
 
 在直角坐标系下，圆的方程为： $x^2+y^2=1 $ 
 
  ![图片](/uploads/2025-08/3ce04b.jpg){width=300px}
  
  在极坐标表示下是 $\rho=1$
   ![图片](/uploads/2025-08/cb07f0.jpg){width=300px}
  
  如果换到$\rho-\theta$坐标系下：
   ![图片](/uploads/2025-08/67c8c3.jpg){width=500px}
   
   是不是看上去很简单了，从圆变为了一条直线。
同一个数学对象，在不同坐标系中，有不同的表达形式：

![图片](/uploads/2025-08/648184.jpg)
 
 从这里可以看到，直角坐标系$x-y$ 和 $\rho-\theta$ 就是一个变换。

## 从时域到频域的转换
传统的，我们都是使用直角坐标系$xoy$表示函数图像,写成 $y=f(x)$ 这意味着给一个$x$ 按照 **对应关系**$f$ 就可以得到值函数$y$, 在这里，其实隐含一个条件，这个对应关系是保持不变的，但是现实总，在信号处理里，对应关系经常变动，比如瞬间电流，在$t>0$ 时，这个对应关系$f=0$ , 而在$t=0$ 时，对应关系$f \ne 0$， 因此，为了表示这种动态关系，人们把自变量从$x$更改为$t$，即$y=f(t)$ 虽然外形还是和$y=f(x)$ 差不多，但是函数内涵却发生了发生的深刻的变化。 $y=f(t),t-time $ 就表示这个函数映射是随着时间变化的。

## 向量的正交
### 正交的引入
在高中都学过力的正交分解，一个质点静止在斜块上，说明受力平衡，老师告诉我们，要进行受力分析，可以把重力$F$分解为两个力：沿着斜面向下的力$F_1$和垂直斜面的力$F_2$

![图片](/uploads/2025-07/743421.jpg){width=300px}
 
 既然受力平衡，那么就有
  $F_1=F_f$
  $F_2=F_N$
  
  换句话说，原本有3个力，$F,F_f,F_N$我们把他“想象”为四个力$F_1,F_2,F_f,F_N$，数量的增加不仅没有给运算带来复杂，相反带来了简化。
  
  如果仅从数学的角度看，其实，这是我们第一次运用了 **“坐标轴”的旋转**。传统的，坐标轴都是$xoy$坐标系，$x$轴水平，$y$轴垂直，但是在这里坐标轴是“倾斜的”。在这个例子里，我们得到了核心2点：
  （1）坐标轴互相垂直是最好的，因为他简单，。
  （2）沿坐标轴分解后，可以直接进行“**分量的线性的加减**”
  
  特别需要理解（2）的意义，他是**线性代数的核心内涵**，假设物体又受到$F_3$的作用，可以直接把$F_3$分解到两个坐标轴让，然后**使用分量直接进行加减，这就是正交分解的力量**。
  
   ![图片](/uploads/2025-07/5dad9c.jpg){width=300px}

## 向量的正交（正交就是垂直的意思）
在二维平面上，有二维笛卡尔坐标系，即$e_1=(1,0),e_2={0,1}$ ，这两个向量互相垂直的充要条件是点积为零，即$e_1 \cdot e_2=1*0+0*1=0$ ，其推导可以参考[向量正交](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=492)
 
这个结论可以推广到三维、四维、一直到$n$维，以三维为例
 $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$ 计算他们的内积
 可以发现 $e_1 \cdot e_2=0,e_1 \cdot e_3=0, e_2 \cdot e_3=0$ ，所以 $e_1,e_2,e_3$ 互相垂直，我们把两两互相垂直的向量称为正交向量。
 
对于四维及其以上维度，已经无法画图，但是上面的结论是一样的。
 
>**向量的正交给我们计算向量带来了方便，因为任何一个向量和正交向量做内积，就表示这个向量在该坐标轴上的投影（或者说分量。）**

![图片](/uploads/2025-07/338f1a.jpg){WIDTH=350PX}

参考上图，比如有一个向量$\boldsymbol{a}=[4,3]$,我们要计算他在$\boldsymbol{e_1}$轴上的投影，可以计算 $ a \cdot e_1=[4,3] \cdot [1,0]=4*1+3*0=4$ ，即向量在$x$轴分量为4.

同理，  $ a \cdot e_2=[4,3] \cdot [0,1]=4*0+3*1=3$ ，即向量在$y$轴分量为3.

这样，就把向量$[4,3]$ 分解为了2个向量：水平方向的$[4,0]$ 和   垂直方向上的 $[0,3]$，当处理向量时，直接使用分量进行处理。

> **因此，如果计算向量 $a+b$ 只要把他们的分量投影到对应的坐标轴上，然后对应的分量相加，即可得到向量的结果，这种分解的思想，相当于把向量运算转换为了分量上的代数式的加减，非常方便。**

## 三角函数正交系
数学家们从向量的正交分解获得启发，提出了三角函数的正交性。
给你一个集合

$$
\{1, \cos x, \sin x,\cos 2x, \sin 2x, \cos 3x, \sin 3x,\cdots, \cos n x, \sin n x \}
$$
我们称呼这个集合为**三角函数正交系**。
这里的$1$可以认为是$cos 0x$，而$0$是$sin0x$直接忽略没有再写。

在这个三角函数系里，任何两个函数沿着 $[-\pi, \pi]$ 积分（正好是一个周期），都可以得到他们的积分值为零。即

(1) $\int_{-\pi}^\pi \cos n x d x=0 , (n=1,2,3 \cdots)$

(2) $\int_{-\pi}^\pi \sin n x d x=0, (n=1,2,3, \cdots)$

(3) $\int_{-\pi}^\pi \sin k x \cdot \cos n x d x=0, (n, k=1,2,3 \cdots)$

(4) $\int$ $\int_{-\pi}^\pi \cos k x \cdot \cos n x, (n, k=1,2,3 \cdots, n \neq k)$

(5) $\int_{-\pi}^\pi \sin k x \cdot \sin n x d x=0, (n, k=1,2,3 \cdots, n \neq k)$

> **正如我们说两个向量点积为零则互相垂直一样，我们把两个三角函数在$[-\pi, \pi]$ 积分为零，称呼这2个三角函数正交。**

如果我们画出他的图形来，可以类似如下，注意：任何两个“函数”都互相垂直的(下图这里使用了复数表示)。

![图片](/uploads/2025-07/19519d.jpg){width=500px}
 
 如果把上面图，进一步可视化，如下：会得到波的分解。
 
 > **任何一个波，都可以分解到 三角函数正交系 上**

![图片](/uploads/2025-07/2d79ac.jpg){WIDTH=600PX}
 
 但是光知道波的分解还不够，还需要知道波在该分量上的大小。再次回到向量，一个向量想知道他在每个基上的分量，只要用该向量和基单位做点积即可。同样的，
> **给你一个波只要和三角函数正交积做积分，就可以求得该分量的大小(振幅)**。

这有什么用？ 想象你听了一段音乐，他的效果如下
  ![图片](/uploads/2025-01/746be1.jpg)

我们使用三角函数系和这段波“正交”（其实说过滤似乎更好），就可以得到各个不同频率三角函数的分量，这个通俗的理解是有一堆粮食，含有芝麻，大米，黄豆，西瓜等。我们

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