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傅里叶级数

## 傅里叶级数定义

1804年，数学家傅里叶首次提出一个结论：**在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单词的正弦与余弦之和**。但是傅里叶并没有给出严格的证明，1929年，德国数学家狄利克雷给出了周期函数的展开为傅里叶变换提供了理论依据。

## 时域与频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但**如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的**。
先看一下下图：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？一个随着时间变化的震动，这是我们对音乐最普遍的理解，很多音乐播放器也会使用此种背景图
  ![图片](/uploads/2025-01/746be1.jpg)
  
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
 ![图片](/uploads/2025-01/eebb9f.jpg)
 
 上图是音乐在**时域（时间定义域）** 的样子，而下图则是音乐在**频域（频率定义域）** 的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
 将以上两图简化：
 时域：
  ![图片](/uploads/2025-01/71d904.jpg)
频域：
 ![图片](/uploads/2025-01/d1f0fe.jpg)
 
 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)
 
## 任何图形都可以由正弦加余弦表示
正弦与余弦是常见的最基本的三角函数，如果我说使用正弦和余弦可以生成矩形你信吗？参考下图：

①第一幅图是一个郁闷的正弦波$\cos(x)$
②第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加$\cos(x)+a\cos(3x)$
③第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
④第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

![图片](/uploads/2025-01/a7d2b4.jpg){width=400px}

从这里可以看到，随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

下图展示了更为直观的演示

![图片](/uploads/2025-01/357cfe.gif){width=400px}

> **从上面的解释可以得出，任根一个函数都可以写成无数个正弦和余弦的叠加和。**

## 理解：坐标变换
所谓变换，通俗的说就是从“**从一个坐标系变化到另外一个坐标系**”的改变。

大家知道，直角坐标系、极坐标系之间可以相互转换：

![图片](/uploads/2025-08/0ebfe5.jpg){width=500px}
 
 在直角坐标系下，圆的方程为： $x^2+y^2=1 $ 
 
  ![图片](/uploads/2025-08/3ce04b.jpg){width=300px}
  
  在极坐标表示下是 $\rho=1$
   ![图片](/uploads/2025-08/cb07f0.jpg){width=300px}
  
  如果换到$\rho-\theta$坐标系下：
   ![图片](/uploads/2025-08/67c8c3.jpg){width=500px}
   
   是不是看上去很简单了，从圆变为了一条直线。
同一个数学对象，在不同坐标系中，有不同的表达形式：

![图片](/uploads/2025-08/648184.jpg)
 
 从这里可以看到，直角坐标系$x-y$ 和 $\rho-\theta$ 就是一个变换。

## 从时域到频域的转换
传统的，我们都是使用直角坐标系$xoy$表示函数图像,写成 $y=f(x)$ 这意味着给一个$x$ 按照 **对应关系**$f$ 就可以得到值函数$y$, 在这里，其实隐含一个条件，这个对应关系是保持不变的，但是现实总，在信号处理里，对应关系经常变动，比如瞬间电流，在$t>0$ 时，这个对应关系$f=0$ , 而在$t=0$ 时，对应关系$f \ne 0$， 因此，为了表示这种动态关系，人们把自变量从$x$更改为$t$，即$y=f(t)$ 虽然外形还是和$y=f(x)$ 差不多，但是函数内涵却发生了发生的深刻的变化。 $y=f(t),t-time $ 就表示这个函数映射是随着时间变化的。

## 向量的正交
### 正交的引入
在高中都学过力的正交分解，一个质点静止在斜块上，说明受力平衡，老师告诉我们，要进行受力分析，可以把重力$F$分解为两个力：沿着斜面向下的力$F_1$和垂直斜面的力$F_2$

![图片](/uploads/2025-07/743421.jpg){width=300px}
 
 既然受力平衡，那么就有
  $F_1=F_f$
  $F_2=F_N$
  
  换句话说，原本有3个力，$F,F_f,F_N$我们把他“想象”为四个力$F_1,F_2,F_f,F_N$，数量的增加不仅没有给运算带来复杂，相反带来了简化。
  
  如果仅从数学的角度看，其实，这是我们第一次运用了 **“坐标轴”的旋转**。传统的，坐标轴都是$xoy$坐标系，$x$轴水平，$y$轴垂直，但是在这里坐标轴是“倾斜的”。在这个例子里，我们得到了核心2点：
  （1）坐标轴互相垂直是最好的，因为他简单，。
  （2）沿坐标轴分解后，可以直接进行“**分量的线性的加减**”
  
  特别需要理解（2）的意义，他是**线性代数的核心内涵**，假设物体又受到$F

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