最后更新: 2025-07-25 15:18 查看: 658 次反馈同步训练

理解：通量与散度

## 通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 此时管口和水流平行，水的流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

现在我们对上面写成向量的形式：

![图片](/uploads/2025-01/e5c9f6.jpg){width=300px}

设 $\vec{F}$ 表示流体的速度，$t$ 表示时间 ,$\vec{n}$ 表示平面微元的法向量。
 $\vec{F} \Delta t$ 表示 $\Delta t$ 时间里通过的流量。
通过橘色 $\Delta S$ 区域的流量就是

$$
\frac{\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta t \Delta s}{\Delta t}=\vec{F} \cdot \vec{n} \Delta s
$$

上面是一个“单位微元”通过的流量大小，要计算通过整个面积的流量，只要进行二重积分即可，上面图形是规则的，如果是任意一个弯曲面呢？为此我们还要引入一个法向量。
 
### 法向量
在一个曲面上，取一个面积元，当这个面积非常小时，这个面积可以近似看成平面。既然是平面，就能找到一条直线和这个平面垂直，这个直线就是法线，我们给他一个更专业的名字：法向量。表示他除了有大小还要有方向，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)

我们在 [切平面与法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395) 给出一个结论，对于一个曲面函数$f=f(x,y,z)$ 对他求偏导，得到三个分量，就是该曲面的法向量，即：

> **结论：向量$n =\left(F_x\left(x_0, y_0, z_0\right), F_y\left(x_0, y_0, z_0\right), F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\right)$ 为曲面的法向量．**

而梯度就是标量函数求偏导的三个分量，所以这个结论还可以表述为。

> **标量函数的梯度是其法向量**

平面数量场$u=f(x,y)$的梯度是相应的等值线的法向量。

### 通量的数学定义

有了向量$A$、任意一个面积$S$，还有一个法向量$n$，我们就把

\iint_{\Sigma} A \cdot n d S
 
$$

称为向量场 $A$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量（或流量）．

![图片](/uploads/2025-05/e403bb.jpg){width=300px}

给定一向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
}
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量

### 通量的物理解释

我们知道磁场对通电导线有作用力.如下右图，磁场垂直向下，电流从纸面向内，则有安倍力向左 
 ![图片](/uploads/2025-05/4dea9b.jpg){width=500px}
   
现在我们让导线倾斜

![图片](/uploads/2024-12/1f15b3.jpg){width=200px}

此时磁通量B可以分解为平行于导线的磁通量$B_{//}$和垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$ ，而平行于导线的磁通量$B_{//}$ 并不产生安倍力，只有垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$产生安倍力。

换句话说，只有垂直的磁通量$B_{\perp}$是有效的。 如下：虽然磁通量通过面积$S$，但是真正有效的面积是$S'$ 
 ![图片](/uploads/2024-12/158b1e.jpg){width=280px}

因此，理解通量最核心的一点是： 通量是通过曲面**有效面积**的流量。
 
 
 `例` 求向量场 $A=y z j+z^2 k$ 穿过曲面 $\Sigma$ 流向上侧的通量，其中 $\Sigma$ 为柱面 $y^2+z^2=1(z \geqslant 0)$ 被平面 $x=$ 0 及 $x=1$ 截下的有限部分。
 ![图片](/uploads/2025-05/fef254.jpg)
 
 解：解 曲面 $\Sigma$ 上侧的法向量可以由

$$
f(x, y, z)=y^2+z^2
$$

的梯度 $\nabla f$ 得出，即

$$
n=\frac{\nabla f}{|\nabla f|}=\frac{2 y j+2 z k}{\sqrt{(2 y)^2+(2 z)^2}}=y j+z k \quad\left(y^2+z^2=1\right) .
$$

在曲面 $\Sigma$ 上，

$$
A \cdot n =y^2 z+z^3=z\left(y^2+z^2\right)=z .
$$

因此，$A$ 穿过 $\Sigma$ 流向上侧的通量为

$$
\iint_{\Sigma} A \cdot n d S=\iint_{\Sigma} z d S=\iint_{D_{x y}} \sqrt{1-y^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} d x d y=\iint_{D_{x y}} d x d y=2 .
$$
 
 
### 通量的通俗理解-生活实例角度

**流水场景**
把水流想象成一个向量场，其中每一点的向量表示水流在该点的速度和方向。现在有一个假想的平面（比如一张无限大的薄塑料片）放在水流中。

• 正通量：如果水流的方向大多是从平面的上方指向下方穿过这个平面，就好像有很多水不断地从平面的一侧流到另一侧，那么就说通过这个平面的水的通量是正的。这就好比在一个下雨天，你拿着一个向上开口的盆子接雨水，雨水不断地落入盆中，此时雨水通过盆子这个“平面”的通量就是正的。

• 负通量：若水流的方向主要是从平面的下方指向上方穿过平面，即水是从平面的另一侧流向我们所关注的这一侧，那么通过该平面的水的通量就是负的。例如，你拿着一个向下开口的容器放在水流中，水会从这个容器中流出，此时水通过容器这个“平面”的通量就是负的。

• 零通量：当水流垂直穿过平面，且平面两侧的水流量大小相等、方向相反时，通过平面的净通量为零。就像在一个封闭的环形管道中，水稳定流动，管道中间有一个垂直于水流方向的薄板，水均匀地从薄板两侧流过，薄板两侧的水流量相同，那么水通过薄板的通量就是零。

**电通量场景**
把电场想象成是由无数条电力线组成的，电力线的方向表示电场的方向。假设有一个封闭的曲面（比如一个气球表面）放在电场中。

• 正通量：如果从封闭曲面内部发出的电力线多于进入曲面的电力线，就好像有很多“电场力”从曲面内部向外扩散，那么通过这个封闭曲面的电通量就是正的。例如，在一个正点电荷周围，电场线是从正电荷向四周发散的，当我们用一个封闭球面把这个正点电荷包围起来时，通过这个球面的电通量就是正的。

• 负通量：若进入封闭曲面的电力线多于从曲面内部发出的电力线，即有更多的“电场力”进入曲面，那么通过该封闭曲面的电通量就是负的。比如在一个负点电荷周围，电场线是指向负电荷的，当用封闭球面把负点电荷包围起来时，通过这个球面的电通量就是负的。

• 零通量：当封闭曲面内没有电荷，且进入曲面的电力线和从曲面发出的电力线数量相等时，通过封闭曲面的电通量为零。就像在一个均匀电场中放置一个不带电的封闭导体壳，电场线穿过导体壳，但进入和穿出的电力线数量相同，此时通过导体壳的电通量为零。

## 散度
想象空间有一个质点，我们用一个气球把他包住，然后让气球的半径无线趋近与零，如果极限存在，则表示该点的散度。

![图片](/uploads/2025-01/d1bf72.jpg){width=200px}

**散度定义**
设向量场 $\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}$，其中 $P$、$Q$、$R$ 是关于 $x$、$y$、$z$ 的函数，$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$ 分别是 $x$、$y$、$z$ 轴正方向的单位向量。向量场 $\vec{F}$ 在点 $(x,y,z)$ 处的散度记为 $\text{div}\vec{F}$ 或 $\nabla\cdot\vec{F}$，其计算公式为：
$$
\boxed{
\text{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
}
$$

从数学计算的角度来看，**散度就是向量场的三个分量 $P$、$Q$、$R$ 分别对各自变量求偏导数后相加的结果** 它反映了向量场在各个方向上的变化情况综合起来所产生的“发散”或“汇聚”效应。如果这个和大于零，说明向量场在该点总体上有向外发散的趋势；如果小于零，有向内汇聚的趋势；如果等于零，则没有明显的发散或汇聚现象。
> 重要结论：散度$\operatorname{div} v (M)$的意义： 在这里可看做稳定流动的不可压缩流体在点 $M$ 的源头强度. 在 $\operatorname{div} v (M)>0$的点处, 流体从该点向外发散, 表示流体在该点处有正源; 在 $\operatorname{div} v(M)<0$ 的点处, 流体向该点汇聚，表示流体在该点处有吸收流体的负源（又称为汇或洞）；在 $\operatorname{div} v (M)=0$的点处, 表示流体在

其他版本
【高等数学】方向导数

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：两类曲面积分之间的关系

下一篇：高斯公式 Gauss公式

本文对您是否有用？有用 (2) 无用 (0)