最后更新: 2024-12-28 10:47 查看: 567 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

通量与散度

## 通量与散度
设给定一[向量场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=392) $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量（或流量）。

称 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \mid\left(x, y, v, x_0\right)$ 称为向量场 $\boldsymbol{A}$ 在点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的散度(也叫通量密度)，记作 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}\left(x_0, y_0, z_0\right)$.

一般地， $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 就表示 $\boldsymbol{A}$ 在场中任一点 $(x, y, z)$ 处的散度.
第二类曲面积分 $\Phi=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 称为向量场 $\boldsymbol{A}$ 向 $\Sigma$ 那一侧穿 过曲面 $S$ 的通量.
通量的向量形式是: $\Phi=\iint_{\Sigma} A \cdot n \mathrm{~d} S=\iint_{\Sigma} A_n \mathrm{~d} S$ ，
其中 $n$ 表示是 $\Sigma$ 一侧的单位法向量， $A_l$ 表示向量 $A$ 在曲面 $\Sigma$ 的外法线上的投影.
对于向量场 $A$ ，若我们将这里的 $\Sigma$ 看作是高斯公式中区域 $\Omega$ 的边界 (闭) 曲面，且按高斯公式， $\Sigma$ 取外侧，则有

$$
\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S ，
$$
右端表示在单位时间内离开区域 $\Omega$ 的流量.

## 通量的物理解释

我们知道磁场对通电导线有作用力，并从这个现象入手定义了物理量——磁感应强度B。安培在研究磁场与电流的相互作用方面作出了杰出的贡献，为了纪念他，人们把通电导线在磁场中受的力称为安培力（Ampère force），把电流的单位定为安培，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1003)

![图片](/uploads/2024-12/10b0d3.jpg){width=200px}
 
上图如果进行简化，可以得到下面的方式：磁场垂直向下，电流从纸面向内，则有安倍力向左，如下图

![图片](/uploads/2024-12/6fbd1e.jpg){width=200px}

在高中物理我们学过，垂直于磁场 $B$ 的方向放置的长为 $l$ 的一段导线，当通过的电流为I时，它所受的安培力F为
$ F=IlB$
 
现在我们让导线倾斜

![图片](/uploads/2024-12/1f15b3.jpg){width=200px}

此时磁通量B可以分解为平行于导线的磁通量$B_{//}$和垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$ ，而平行于导线的磁通量$B_{//}$ 并不产生安倍力，只有垂直于导线的磁通量$B_{\perp}$产生安倍力。

换句话说，只有垂直的磁通量$B_{\perp}$是有效的。“正如山不转水转一样”，上面是面积不变，而让磁通量改变。但是，我们可以换一个角度，磁通量不变，而让面积分解，如下：虽然磁通量通过面积$S$，但是真正有效的面积是$S'$

![图片](/uploads/2024-12/158b1e.jpg){width=280px}
 
 理解了上面的概念后，再看通量的定义：$n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。为什么使用法向量，因为通过法向量才算是“有效的面积”。
 
  ![图片](/uploads/2024-12/bfe636.jpg)

### 通量与散度
我们假设流体是稳定流动的不可压缩的， 因此在流体离开区域 $\Omega$ 的同时，就应 该有 $\Omega$ 内部产生流体的 “源头" 产生出同样多的流体来补充. 因此高斯公式的 左端可解释为在 $\Omega$ 内的源头在单位时间内所产生的流量.
设 $\boldsymbol{A}=(P, Q, R)$ ，记 $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ ，散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=\nabla \cdot \boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ ， 高斯公式可表示为

$$
\iiint_{\Omega} \operatorname{div} A \mathrm{~d} v=\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A}_n \mathrm{~d} S .
$$

> $\operatorname{div} v (M)$ 在这里可看做稳定流动的不可压缩流体在点 $M$ 的源头强度. 在 $\operatorname{div} v (M)>0$的点处, 流体从该点向外发散, 表示流体在该点处有正源; 在 $\operatorname{div} v(M)<0$ 的点处, 流体向该点汇聚，表示流体在该点处有吸收流体的负源（又称为汇或洞）；在 $\operatorname{div} v (M)=0$的点处, 表示流体在该点处无源.

`例`求向量场 $r=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的通量
(1) 穿过圆雉 $x^2+y^2 \leq z^2(0 \leq z \leq h)$ 的底(向上);
(2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.
解 设 $S_1, S_2$ 及 $S$ 分别为此圆雉的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的通 量

$$
Q=\iint_{S^{\star}} r \cdot \mathbf{d} S=\iiint_V d i v r \mathrm{~d} v=3 \iiint_V \mathrm{~d} v=\pi h^3 .
$$

(1) 穿过底面向上的流量为 $Q_1=\iint_{S^{+}} r \cdot \mathbf{d} S=\iint_{\substack{x^2+y^2 \leq z^2 \\+=h}} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{x^2+y^2 \leq z^2} h \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\pi h^3$.
(2)穿过侧表面向外的流量为 $Q_2=Q-Q_1=0$.

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