最后更新: 2025-12-14 10:28 查看: 213 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

边缘概率分布★★★★★

### 为什么引入边缘分布
**引例1** 前面介绍了联合分布，比如，我们要判定一个男生**健康**与否，需要通过“身高”和“体重”两个维度进行确定。但是对于有些活动，比如打篮球，我们更关注男生的身高（对于体重可以忽略），而对于有些活动比如矩阵，我们更关注男生的体重（身高可以忽略），换句话说，根据我们目的的不同，需要关注点也不同。因此引入了边缘分布。

**引例2**  考虑两个骰子的点数，第一个为$X$第二个为$Y$。那么$p(X=1,Y=1)$就是扔出来$(1,1）$的概率了，这个对应到连续的情况就是$F(X=1,Y=1)$，这就是联合概率密度。那么我现在只关心第一个骰子，也就是$X$，这时候$p(X=1)$就包含了扔出来 $(X=1,Y=1)(1,2)......(1,6)$ 六个情况了，也就是“y等于多少都可以”，这个就对应到连续变量的边缘分布了。那么，你肯定清楚离散下从第一个概率算第二个就是把第一个概率求和，这个对应到连续就自然变成积分了。

## 边缘概率分布
边缘分布Marginal Distribution是指在多维随机变量的联合分布中，仅关注其中某一个或某几个变量的独立分布。也就是说，当我们有一个关于多个变量的联合概率分布时，我们可以通过对联合分布进行降维操作，得到只关于其中一个或某几个变量的概率分布，这个分布就是边缘分布。

### 定义
设 $ (X, Y) $ 是一个二维随机变量，其联合分布为 $ P(X, Y) $。  
- $ X$ 的边缘分布是通过对 $ Y$ 的所有可能取值求和（离散情况）或积分（连续情况）得到的：
  - 离散情况：$ P(X = x) = \sum_{y} P(X = x, Y = y) $
  - 连续情况：$ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dy $
  
- 类似地，$ Y $ 的边缘分布为：
  - 离散情况：$ P(Y = y) = \sum_{x} P(X = x, Y = y) $
  - 连续情况：$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) \, dx $

边缘分布函数
**定义1** 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布函数为 $F(x, y)$
称
$$
F_X(x)=P(X \leq x)=P(X \leq x, Y<+\infty)=F(x,+\infty)
$$
$-\infty<x<+\infty$, 为随机变量 $X$ 的边缘分布函数；

称 $F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(X<+\infty, Y \leq y)=F(+\infty, y)$
$-\infty<y<+\infty$, 为随机变量 $Y$ 的边缘分布函数.

`例` 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}
c y^2, & 0<x<2 y, 0<y<1, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$

分别计算 $X$ 与 $Y$ 边缘分布函数.
解：在前面已得 $(X, Y)$ 的联合分布函数，

$$
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & x<0 \text { 或 } y<0 ; \\
\frac{2}{3}

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