最后更新: 2025-09-08 05:27 查看: 887 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

弧微分与曲率

## 弧微分的概念
工程技术与生产实践中常常要考虑曲线的弯曲程度， 如公路、铁路的弯道、机床与土木建筑中的轴或梁在荷载作用下产生的弯曲变形. 在设计时对它们的弯曲程度都有一定的限制，因此要讨论如何定量地描述曲线的弯曲程度. 这就引出了曲率的概念.
在介绍曲率之前，需要先引进弧微分的概念.

若函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内具有一阶连续导数，其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，通常这样的曲线必为光滑曲线. 在曲线  $y=f(x)(x \in(a, b))$ 上取固定点 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 作为度量弧长的基点，并规定:
(1) 以 增大的方向作为曲线的正向；
(2) 对曲线上任意点 $M(x, f(x))$ 有向线段
$\overparen{M_0 M}$ 的长度为 $s=|s| \operatorname{sgn}\left(x-x_0\right)$ 称为弧 $s$
由此可知弧 $s$ 是 $x$ 的函数： $s=s(x)$ 且它是
单调增加的 (见图2-65)

![图片](/uploads/2025-09/e457b5.jpg){width=350px}

如图所示，设 $x, x+\Delta x \in I$ ，
它们对应的点分别为 $M, N$ ，设对应的弧的增量为 $\Delta s$ ，弧长为 $|\overparen{M N}|$ ，对应直线段的长度为 $|M N|$ ，则

$$
\begin{gathered}
\frac{\Delta s}{\Delta x}=\frac{\Delta s}{|M N|} \cdot \frac{|M N|}{\Delta x}=\frac{\Delta s}{|M N|} \cdot \frac{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{\Delta x}=\frac{|\overparen{M N}|}{|M N|} \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2} \\
\frac{\mathrm{~d} s}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\overparen{M N}|}{|M N|} \sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}=\sqrt{1+\left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}=\sqrt{1+y^{\prime 2}}
\end{gathered}
$$

由此可得弧微分公式为

$$ 
\boxed{
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x ...(1 \text{标准公式})
}
$$

### 参数方程与极坐标的弧微分
同理，可以推出，若曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ，给出，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t ...(2 \text{参数公式})} 
$$

若曲线方程为极坐标形式 $r=r(\theta)$ ，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta ...(3 \text{极坐标公式})}
$$

## 曲率
现在研究如何描述曲线弧的弯曲程度.
从几何直观上容易看出，直线不弯曲，抛物线在顶点处弯曲最厉害，当抛物线上的点越远离顶点，弯曲程度越低（见图2-66）圆上各点的弯曲程度是相同的（见图2-67）半径越小，弯曲越厉害.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212284e2ba78.png)

如图2-68所示，在曲线 $L$ 上点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度（简称转 角) $\Delta \alpha$ 很小，但点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度 (转角) $\Delta \alpha^{\prime}$ 很大. 但是单 用转角来衡量曲线的弯曲程度是不完全的. 如图2-69所示，当点从 $M$ 沿 $L_1$ 移动到 $M^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 与点从 $N$ 沿 $L_1$ 移动到 $N^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 它们有相同的转角，但 显 然 $\overparen{M M}$ '比 $\overparen{N N}$ 的弯曲程度要小. 从图中也可看出，弯曲程度既与转角有关 （成正比）也与经过的弧长 $\Delta \alpha$ 有关（成反比）.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228d261484.png)

> **定义** 设曲线 $C: y=f(x)$ 是光滑的，在 $C$ 上任取 一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作为度量弧长的基点. 设曲线 $C$ 上点 $M(x, y)$ 对应弧 $S$ ，点 $M$ 处曲线的切线倾斜角为 $\alpha$. 点 $M^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 是 $C$ 上邻近 $M$ 的另一个点，对应 弧 $s+\Delta s$ ，点 $M^{\prime}$ 处曲线的倾斜角为 $\alpha+\Delta \alpha$ (见图2-70) 当动点由点 $M$ 沿 $C$ 移动到点 $M$ '时，切线转过的角度 为 $|\Delta \alpha|$ 比值 $\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$ 称为弧段 $\overparen{M M^{\prime}}$ 的平均曲率，记作 $\bar{K}$ ， 即曲率的定义为单位弧段上切线转角的大小

$$
\boxed{
\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| ...(4)
}
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228f33f4fc.png)
当 $M^{\prime} \rightarrow M$ 时， $\Delta s \rightarrow 0$ 将平均曲率取极限（若极限存在），称该极限值为曲线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率, 记作 $K$.

$$
K=\lim _{M^{\prime} \rightarrow M} \bar{K}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|
$$

在 $\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}$ 存在的条件下， $K$ 可以表示为

$$
K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{ds}}\right|
$$

## 曲率计算公式
下面根据公式(4)推导曲率计算公式。
在公式（1）里已经推导出$dS$,下面推导$d \alpha$，怎么求$\alpha$, 这里用到斜率。斜率就是其切线在这一点与水平线夹角的正切值, $\tan \alpha =y'$  ,即 $\tan \alpha = \frac{dy}{dx}$,对其微分

$$
d \tan \alpha=\frac{d \tan \alph

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【数学分析】曲线的弧长概念【数学分析】平面曲线的曲率【数学分析】弧长的微分和曲线的自然参数方程

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