最后更新: 2025-12-07 09:56 查看: 1117 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲线的凹凸性与拐点 ★★★★★

## 曲线的凹凸性与拐点
研究了函数的单调性与极值后，对函数的变化情况有了一定的了解，对描述函数的图形有很大的帮助，但是我们需要对图形有进一步研究。
比如图2-44中的曲线弧 $\overparen{A B C}$ 整体是单调上升的，但 $\overparen{A B}$ 是弧段 是凸的，而弧段 $\overparen{B C}$ 是凹的，所以不仅要考虑增减性，还需要研究曲线的弯曲方向，下面给出曲线的凹凸性的定义.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221228d33e6be.png)

### 凸函数与凹函数

**凸函数** 如果对区间 $I$ 上的任意两点 $x_1, x_2$ ，恒有

$$
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{1}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]
$$

则称 $f(x)$ 是凸函数或者是凸弧形， (见图2-46)

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122815aedb6.png)

**凹函数** 设函数 $f(x)$ ，在区间 $I$ 上连续，如果对区间 $I$ 上的任意两点 $x_1$ 、 $x_2$ 、恒有

$$
f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{1}{2}\left[f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\right]
$$ 
则称 $f(x)$  是凹函数 (见图2-45).

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228c8b6229.png)

证明：略，不过从几何图形上看，意义还是非常明显的。

注意：凸凹性和增减性没有必然联系，参考下图

![图片](/uploads/2025-09/370901.jpg)

## 如何确定函数图形的凹凸性呢?
从以下两图可以看出，随着横坐标 $x$ 的增加，凹弧上各点处的切线斜率逐渐增大，即 $f^{\prime}(x)$ 是单调增加的 (见图2-47) ；而凸弧上各点处的切线斜率逐渐减小，即 $f^{\prime}(x)$ 是单调减少的（见图2-48) 对于 $f^{\prime}(x)$ 的增减性，而 $f^{\prime}(x)$ 的增减性，可由 $f''(x)$ 来判定.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228ce3d2c8.png)

为此，如果函数具有二阶导数，就可利用二阶导数的符号来确定函数图形的凸凹性.

### 函数凸凹性的判定

> **定理** 设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上连续，在 $I$ 内具有一阶及二阶导数，则
(1) 若在 $I$ 内 $f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；
(2) 若在 $I$ 内 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的.

>**记忆技巧**：上面第三步口诀可以简记为：正凹负凸。利用汉字形象记忆，“正凹”的正第一笔是“一”，想象一辆小汽车在水平的马路上跑，遇到凹字，突然掉下去了。 而“负凸”，负的上部分是一个“刀”部，凸的上部分是一个“口”，两个都起来了一块。

`例` 判断曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 的凹凸性.
解 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数

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