最后更新: 2026-01-07 07:48 查看: 386 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附表：参数估计服从分布表与例题 ★★★★★

比如：
（1）如果是一个正态分布，且题目告诉你**方差已知**，估计均值，则均值服从正态分布。
（2）如果是一个正态分布，且题目告诉你**方差未知**，估计均值，则均值服从：小样本（30个以下）使用t分布，大样本（超过30）使用正态分布。
(3)要会查分布表的值。
 
## 一个正态分布
### 单个正态总体均值的区间估计（方差已知）
   
`例`某车间生产的零件长度服从正态分布 $X \sim N(\mu, 0.04)$。现从生产线上随机抽取16个零件，测得平均长度为20.5 cm。求零件长度的均值 $\mu$ 的95%置信区间。

**分析**：
*   总体分布：正态 $N(\mu, \sigma^2)$，且**方差 $\sigma^2 = 0.04$ 已知**。
*   样本量：$n = 16$
*   样本均值：$\bar{x} = 20.5$
*   置信水平：$1 - \alpha = 0.95$，所以 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$

**步骤**：
1.  **选择统计量**：由于方差已知，我们使用 **Z统计量**。
 
$$
    Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)
$$

2.  **确定临界值**：查标准正态分布表（或使用统计软件），找到 $z_{0.025}$。
 
$$
    z_{0.025} = 1.96
$$
 
 这意味着 $P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95$。

3.  **构建置信区间**：根据不等式 $-z_{\alpha/2} < Z < z_{\alpha/2}$，代入Z的表达式并进行代数变换，得到 $\mu$ 的置信区间公式：

$$
    P\left( \bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha
$$

因此，95%置信区间为：

$$
    \left[ \bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]
$$

4.  **代入数据计算**：
    *   $\sigma = \sqrt{0.04} = 0.2$
    *   $\sqrt{n} = \sqrt{16} = 4$
    *   边际误差 $E = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times \frac{0.2}{4} = 1.96 \times 0.05 = 0.098$
    *   置信区间下限：$20.5 - 0.098 = 20.402$
    *   置信区间上限：$20.5 + 0.098 = 20.598$

**答案**：我们有95%的置信度认为该车间生产的零件长度的均值 $\mu$ 在 **[20.402 cm, 20.598 cm]** 之间。

### 单个正态总体均值的区间估计（方差未知，小样本）
`例`假设某品牌电池寿命服从正态分布。现随机抽取9节电池进行寿命测试，得到平均寿命为500小时，样本标准差为40小时。求该品牌电池平均寿命 $\mu$ 的99%置信区间。

**分析**：
*   总体分布：正态 $N(\mu, \sigma^2)$，但**方差 $\sigma^2$ 未知**。
*   样本量：$n = 9$（小样本，$n < 30$）
*   样本均值：$\bar{x} = 500$
*   样本标准差：$s = 40$
*   置信水平：$1 - \alpha = 0.99$，所以 $\alpha = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$

**步骤**：
1.  **选择统计量**：由于方差未知且为小样本，我们使用 **t统计量**（自由度为 $n-1$）。

$$
    T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)
$$

2.  **确定临界值**：查t分布表，自由度 $df = n - 1 = 8$，双侧概率 $\alpha = 0.01$。

$$
    t_{0.005}(8) = 3.355
$$

这意味着 $P(-3.355 < T < 3.355) = 0.99$。

3.  **构建置信区间**：公式变为：

$$
    \left[ \bar{x} - t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar{x} + t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} \right]
$$

4.  **代入数据计算**：
    *   $\sqrt{n} = \sqrt{9} = 3$
    *   边际误差 $E = t_{\alpha/2}(n-1) \frac{s}{\sqrt{n}} = 3.355 \times \frac{40}{3} \approx 44.733$
    *   置信区间下限：$500 - 44.733 = 455.267$
    *   置信区间上限：$500 + 44.733 = 544.733$

**答案**：我们有99%的置信度认为该品牌电池的平均寿命 $\mu$ 在 **[455.27小时, 544.73小时]** 之间。

### 单个正态总体方差的区间估计 
`例` 承接例题2的数据。已知电池寿命服从正态分布，样本量 $n=9$，样本均值 $\bar{x}=500$，样本标准差 $s=40$。求总体方差 $\sigma^2$ 的95%置信区间。

**分析**：
*   目标参数：方差 $\sigma^2$
*   总体分布：正态（这是使用卡方分布的前提）
*   样本量：$n = 9$
*   样本方差：$s^2 = 40^2 = 1600$
*   置

免费注册查看余下70%

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：两个正态总体的参数的区间估计

下一篇：本章思维导图

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)