最后更新: 2026-01-06 16:21 查看: 548 次纠错评论(0) 课件开VIP

双侧置信区间与单侧置信区间

## 双侧置信区间
在[分布函数与密度函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=523)里,曾经给出一个重要结论：
①分布函数求导就是密度函数，
②密度函数积分就是分布函数。
而密度函数的积分本质就是求密度曲线和坐标轴围成的面积。 又因为所有的概率总和为1，所以密度函数曲线围成的整个$(-\infty,+\infty)$ 面积就是$1$.

在概率论里，我们通常采用$1-\alpha$来表示置信度。比如抽查产品，我要去$95\%$的产品是合格的。用数学表达就是
$1-\alpha=95\% $

他所表达的几何意义就是下图粉红色的面积为0.95, 进而可以求得$\alpha=0.05 $ 也就是两侧绿色面积之和为 0.05

![图片](/uploads/2026-01/88a1a6.jpg)

考虑正态分布的对称性， 因此，左侧绿色面积等于右侧绿色面积=0.025

接下来就要根据$\alpha$ 求出$a,b$ 是多少(参考上图)。

我们来看一下正态分布表，见 [附录4](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1612)

正态分布表表示的面积是从$(-infty,x)$ 的面积，因此我们要查$0.95+0.025=0.975$所对应的值，可以得到其值为 1.96

![图片](/uploads/2026-01/786203.jpg)

因为对称性，所以$a=-1.96,b=1.96$

### 视频教程 
点击查看视频教程，视频来自 [B站](https://www.bilibili.com/video/BV14PtwziE6S/?spm_id_from=333.1391.0.0&vd_source=ce36ec6d3df912c631a78d26e9e63ed8)
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`例`某工厂生产的零件长度 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 0.04)$（单位：cm），现随机抽取 25 个零件，测得其平均长度为 $\bar{x}=10.2\ \text{cm}$。求总体均值 $\mu$ 的置信水平为 95% 的双侧置信区间。

解:
1.  **确定已知条件**
    - 总体方差 $\sigma^2=0.04$，因此 $\sigma=0.2$
    - 样本量 $n=25$
    - 样本均值 $\bar{x}=10.2$
    - 置信水平 $1-\alpha=0.95$，因此 $\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$

2.  **查分位点 $z_{\alpha/2}$**
    查标准正态分布表，$z_{0.025}=1.96$（这个值是常用分位点，建议记住）。

3.  **计算边际误差 $E$**
    边际误差公式：$E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
    代入数值：
    $$
    E = 1.96 \times \frac{0.2}{\sqrt{25}} = 1.96 \times \frac{0.2}{5}=1.96\times0.04 = 0.0784
    $$

4.  **计算置信区间**
    置信下限：$\bar{x}-E = 10.2 - 0.0784 = 10.1216$
    置信上限：$\bar{x}+E = 10.2 + 0.0784 = 10.2784$

5.  **结论**
    总体均值 $\mu$ 的置信水平为 95% 的双侧置信区间为 $(10.1216,\ 10.2784)\ \text{cm}$。

> 核心理解这个区间的含义是：**我们有 95% 的把握认为，零件的真实平均长度落在 10.1216 cm 到 10.2784 cm 之间**。

`例`某品牌袋装牛奶的净含量服从正态分布，现随机抽取 9 袋牛奶检测，测得净含量（单位：mL）分别为：
$248,\ 252,\ 250,\ 249,\ 251,\ 253,\ 247,\ 250,\ 252$
求该品牌牛奶净含量均值$\mu$的置信水平为 95% 的双侧置信区间。

解:
1.  **确定已知条件与计算样本统计量**
    - 样本量 $n=9$，自由度 $df = n-1 = 8$
    - 置信水平 $1-\alpha=0.95$，因此 $\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$
 
计算样本均值 $\bar{x}$：
$$
\bar{x} = \frac{248+252+250+249+251+253+247+250+252}{9} = \frac{2252}{9} \approx 250.22\ \text{mL}
$$
 
计算样本标准差$s$（先算样本方差$s^2$）：
$$
\begin{align*}
s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \\
&= \frac{1}{8}\left[(248-250.22)^2+(252-250.22)^2+\dots+(252-250.22)^2\right] \\
&\approx \frac{1}{8}\times35.56 = 4.445 \\
s &= \sqrt{4.445} \approx 2.11\ \text{mL}
\end{align*}
$$

2.  **查$t$分布分位点**
    查$t$分布表，自由度$df=8$，$\alpha/2=0.025$对应的分位点 $t_{0.025}(8)=2.306$。

3.  **计算边际误差$E$**
$$
E = t_{\alpha/2}(n-1)\cdot\frac{s}{\sqrt{n}} = 2.306\times\frac{2.11}{\sqrt{9}} = 2.306\times\frac{2.11}{3} \approx 1.62
$$

4.  **计算置信区间**
    - 置信下限：$\bar{x}-E = 250.22 - 1.62 = 248.60$
    - 置信上限：$\bar{x}+E = 250.22 + 1.62 = 251.84$

>  **结论**   该品牌牛奶净含量均值$\mu$的置信水平为 95% 的双侧置信区间为 $(248.60,\ 251.84)\ \text{mL}$。

>比较例1和例2，同样是求执行区间，例1使用的是正态分布，而例2使用的是t分布。为什么会这样？这是因为例1里，知道了总体方差，而例2里不知道总体方差，我们就使用样本的方差来替代总体的方差。

> **当$u, \sigma$ 已知或未知时，到底服从什么分布，这是初学者最感觉困难的地方，在[附录2](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1491)里，列出了常见的执行区间服从分布表。 他的数学严格推导，可以参考后面教程。**

上面例题里，两种场景对比

![图片](/uploads/2026-01/c703f8.jpg)

## 单侧置信区间
在上述讨论中，对于未知参数 $\theta$ ，我们给出的置信区间 $\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\right]$ 都是既有置信下限又有置信上限的，通常称为双侧置信区间．因为双侧置信区间是最短的，所以是精度最高的，应用最为广泛．但在某些实际问题中，例如，对机器设备零部件来说，平均寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的＂下限＂；又如，在购买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均值的＂上限＂．这就引出了单侧置信区间的概念．

**定义** ①设 $\theta$ 为总体的未知参数，对于给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$ ，若存在统计量 $\hat{\theta}_L=\hat{\theta}_L\left(X_1, X_2\right.$ ， $\left.\cdots, X_n\right)$ ，使

$$
P\left\{\hat{\theta}_L \leqslant \theta<+\infty\right\}=1-\alpha,
$$

则称随机区间 $\left[\hat{\theta}_L,+\infty\right)$ 为参数 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的单侧置信区间，$\hat{\theta}_L$ 称为**单侧置信下限**；

![图片](/uploads/2026-01/db81ce.jpg){width=300px}
 
 
 
 
②若存在统计量 $\hat{\theta}_U=\hat{\theta}_U\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ ，使

$$
P\left\{-\infty<\theta \leqslant \hat{\theta}_U\right\}=1-\alpha,
$$
则称随机区间 $\left(-\infty, \hat{\theta}_U\right]$ 为参数 $\theta$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的单侧置信区间，$\hat{\theta}_U$ 称为**单侧置信上限**．

![图片](/uploads/2026-01/d47df4.jpg){width=300px}

单侧置信区间的求法与双侧置信区间相同，例如，设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本，其中 $\sigma^2$ 已知，$\mu$ 未知，利用枢轴量

$$
U=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1),
$$

如上图所示，构造 $P\left\{U \leqslant u_\alpha\right\}=1-\alpha$ ，即

$$
P\left\{\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leqslant u_\alpha\right\}=1-\alpha
$$

进行恒等变形得

$$
P\left\{\mu \geqslant \bar{X}-u_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}=1-\alpha
$$

从而可得 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的单侧置信下限为 $\hat{\mu}_L=\bar{X}-u_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ．

在附录的讨论中，我们已经给出了正态总体参数的双侧置信区间公式，实际上，只要取相应的上侧或下侧，将其中的 $\frac{\alpha}{2}$ 换成 $\alpha$ ，就可以得到单侧置信上限或下限。

`例` 已知某种建筑材料的剪力强度 $X$ 服从正态分布，我们对该种材料做了 46 次剪力测试，测得样本均值 $\bar{x}=17.17 N / mm ^2$ ，样本标准差 $s=3.28 N / mm ^2$ ，求剪力强度平均值 $\mu$ 的置信度为 0.95 的单侧置信下限。

解 因为 $\sigma^2$ 未知，故 $\mu$ 的双侧置信区间公式经过变换，可得单侧置信下限为

$$
\hat{\mu}_L=\bar{X}-t_\alpha(n-1) \frac{S}{\sqrt{n}}
$$

因为 $1-\alpha=0.95$ ，所以 $\alpha=0.05, t_\alpha(n-1)=t_{0.05}(45)=1.6794$ ．
故 $\mu$ 的置信度为 0.95 的单侧置信下限为

$\hat{\mu}_L=\bar{x}-t_{0.05}(45) \frac{s}{\sqrt{n}}=16.36 $

`例`从一批灯泡中随机地取 5 只作寿命试验，测得寿命（以 $h$ 计）为

$$
\begin{array}{llllll}
1050 & 1100 & 1120 & 1250 & 1280
\end{array}
$$

设灯泡寿命服从正态分布．求灯泡寿命平均值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限．

解 $\quad 1-\alpha=0.95, n=5, t_\alpha(n-1)=t_{0.05}(4)=2.1318, \bar{x}=1160, s^2=9950$.由（7．4）式得所求单侧置信下限为

$$
\mu=\bar{x}-\frac{s}{\sqrt{n}} t_\alpha(n-1)=1065 .
$$

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