最后更新: 2026-01-06 16:21 查看: 415 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

双侧置信区间与单侧置信区间

## 双侧置信区间
在[分布函数与密度函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=523)里,曾经给出一个重要结论：
①分布函数求导就是密度函数，
②密度函数积分就是分布函数。
而密度函数的积分本质就是求密度曲线和坐标轴围成的面积。 又因为所有的概率总和为1，所以密度函数曲线围成的整个$(-\infty,+\infty)$ 面积就是$1$.

在概率论里，我们通常采用$1-\alpha$来表示置信度。比如抽查产品，我要去$95\%$的产品是合格的。用数学表达就是
$1-\alpha=95\% $

他所表达的几何意义就是下图粉红色的面积为0.95, 进而可以求得$\alpha=0.05 $ 也就是两侧绿色面积之和为 0.05

![图片](/uploads/2026-01/88a1a6.jpg)

考虑正态分布的对称性， 因此，左侧绿色面积等于右侧绿色面积=0.025

接下来就要根据$\alpha$ 求出$a,b$ 是多少(参考上图)。

我们来看一下正态分布表，见 [附录4](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1612)

正态分布表表示的面积是从$(-infty,x)$ 的面积，因此我们要查$0.95+0.025=0.975$所对应的值，可以得到其值为 1.96

![图片](/uploads/2026-01/786203.jpg)

因为对称性，所以$a=-1.96,b=1.96$

### 视频教程 
点击查看视频教程，视频来自 [B站](https://www.bilibili.com/video/BV14PtwziE6S/?spm_id_from=333.1391.0.0&vd_source=ce36ec6d3df912c631a78d26e9e63ed8)
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`例`某工厂生产的零件长度 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, 0.04)$（单位：cm），现随机抽取 25 个零件，测得其平均长度为 $\bar{x}=10.2\ \text{cm}$。求总体均值 $\mu$ 的置信水平为 95% 的双侧置信区间。

解:
1.  **确定已知条件**
    - 总体方差 $\sigma^2=0.04$，因此 $\sigma=0.2$
    - 样本量 $n=25$
    - 样本均值 $\bar{x}=10.2$
    - 置信水平 $1-\alpha=0.95$，因此 $\alpha=0.05$，$\alpha/2=0.025$

2.  **查分位点 $z_{\alpha/2}$**
    查标准正态分布表，$z_{0.025}=1.96$（这个值是常用分位点，建议记住）。

3.  **计算边际误差 $E$**
    边际误差公式：$E = z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
    代入数值：
    $$
    E = 1.96 \times \frac{0.2}{\sqrt{25}} = 1.96 \times \frac{0.2}{5}=1.96\times0.04 = 0.0784
    $$

4.  **计算置信区间**
    置信下限：$\bar{x}-E = 10.2 - 0.0784 = 10.1216$
    置信上限：$\bar{x}+E = 10.2 + 0.0784 = 10.2784$

5.  **结论**
    总体均值 $\mu$ 的置信水平为 95% 的双侧置信区间为 $(10.1216,\

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