最后更新: 2025-12-09 10:34 查看: 219 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

枢轴变量

## 枢轴变量的意义

> 在理解本文前，建议已经看了 [置信区间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=576) 的介绍

接着上一节，为了估计学生的身高，我测量了50个学生，然后把每个学生的身高描绘出来，这些身高分布呈现正态分布。现在我要使用这50个样本估算全校学生的平均身高，在点估计里，直接使用平均值即可当做总体的平均身高，但是在很多情况下，我们希望获得一个区间，并得到区间的可信度。

参考下图，以$95\%$的可信区间为例，下图阴影部分的面积为0.95，现在样本点已经有了，想象一下，我拿了3把尺子，分别是$a_1,a_2,a_3$划分区间，在**总面积不变的情况下，我希望尺子越短越好**，可以证明在左右个为$\alpha/2$的情况下，尺子最短。
  ![图片](/uploads/2025-09/99ee44.jpg)
 
① 如何理解尺子最短？
区间估计要求在保证可信度下，区间尽可能小，这样会更准确。比如我说：我有 95%的把握判断张三的身高为 172-174 和我有 95%的把握判断张三的身高为 160-190， 可以看到，虽然两者置信度一样，但是后面等于没说，就是因为估计的区间太大。

②可以证明，在对称的情况下，尺子最短。参考下图，假设置信区间要求90%的可信度，比如下图左边取 3%,右边取7%, 或者左边取8%，右边取2%，又或者左右两边各取5%。可以证明，只有第三种情况，区间a,b最短，所以使用 $\alpha/2$

![图片](/uploads/2025-06/94ea5b.jpg)

##  枢轴量法求置信区间

构造未知参数 $\theta$ 的置信区间的最常用的方法是枢轴量法, 其步骤可以概括为如下三步:
(1) 设法构造一个样本和 $\theta$ 的函数 $G=G\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \theta\right)$ 使得 $G$ 的分布不依赖于未知参数.一般称具有这种性质的 $G$ 为枢轴量.
(2) 适当地选择两个常数 $c, d$, 使对给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 有

$$
P(c \leqslant G \leqslant d)=1-\alpha . ...(6.6.5)
$$

在离散场合，上式等号改为大于等于（ $\geqslant$ ）。
(3) 假如能将 $c \leqslant G \leqslant d$ 进行不等式等价变形化为 $\hat{\theta}_L \leqslant \theta \leqslant \hat{\theta}_U$, 则有

$$
P_\theta\left(\hat{\theta}_L \leqslant \theta \leqslant \hat{\theta}_U\right)=1-\alpha, ...(6.6.6)
$$

这表明 $\left[\hat{\theta}_L, \hat{\theta}_U\right]$ 是 $\theta$ 的 1- $\alpha$ 同等置信区间.
上述构造置信区间的关键在于构造枢轴量 $G$, 故把这种方法称为枢轴量法. 枢轴量的寻找一般从 $\theta$ 的点估计出发. 而满足 (6.6.5) 的 $c, d$ 可以有很多, 选择的目的是希望 (6.6.6) 中的平均长度 $E_\theta\left(\hat{\theta}_U-\hat{\theta}_L\right)$ 尽可能短.

假如可以找到这样的 $c, d$ 使 $E_\theta\left(\hat{\theta}_U-\hat{\theta}_L\right)$ 达到最短当然是最好的, 不过在不少场合很难做到这一点. 故常这样选择 $c$ 和 $d$, 使得两个尾部概率各为 $\alpha / 2$, 即

$$
P_\theta(G<c)=P_\theta(G>d)=\alpha / 2,
$$

## 例题

> 本例题是上一节 [置信区间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=576) 例题的进一步分析 ，因此这一节太抽象了，只能靠自己慢慢“悟”吧

`例`设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自正态总体 $X \sim N\lef

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