最后更新: 2026-01-06 15:39 查看: 429 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

置信区间★★★★★

## 置信区间定义
设 $\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $f(x, \theta)$ 的样本，其中参数 $\theta \in \Theta$ 末知，对给定 的 $0<\alpha<1$ ，若存在统计量 $\theta_1\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \theta_2\left(X_1, \cdots, X_n\right)$, 使得

$$
P\left(\theta_1 \left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \theta \leq \theta_2\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right) \geq 1-\alpha
$$

那么称随机区间 $\left[\theta_1\left(X_1, \cdots, X_n\right), \theta_2 \left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ **置信区间**; 称 $1-\alpha$ 为 **置信水平**;

称 $\theta_1 $ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的下限; 称 $\theta_2$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的上限， 简称双侧置信下限或者上限.

抽样以后就得到置信区间的观测值:

$$
\left[\theta_1 \left(x_1, \cdots, x_n\right), \theta_2\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right]
$$
 
 
 ### 三个常见的$\alpha$ 值
 
 在区间估计里，比较重要的概念是置信度，常见的有三个值
 在实际统计应用中，**90%、95%、99%** 是最常用的三种置信度（对应显著性水平α分别为0.1、0.05、0.01）。它们的核心区别在于**“对区间包含真值的信心高低”**和**“区间宽度的权衡”**——置信度越高，区间越宽（更保守），但精度越低；反之，置信度越低，区间越窄（更精准），但风险更高。

### **一、三种置信度的直观对比**  
| 置信度 | 显著性水平α | 含义（“区间不包含真值”的风险） | 典型应用场景 |  
|--------|-------------|-------------------------------|--------------|  
| 90%    | 0.1（10%）  | 约10%的概率区间“翻车”（不包含真值） | 对精度要求高、能接受一定风险的场景（如市场调研初筛） |  
| 95%    | 0.05（5%）  | 约5%的概率区间“翻车”           | 最常用的“平衡选择”（如学术论文、常规质检） |  
| 99%    | 0.01（1%）  | 仅约1%的概率区间“翻车”         | 对可靠性要求极高、能接受低精度的场景（如药品有效性验证） |

### **二、用生活案例理解：猜体重的三种说法**  
假设你朋友的真实体重是119斤，你通过不同“可信度”给出区间：

- **90%置信度**：你说“我90%把握ta体重在117-121斤之间”（区间较窄，更敢说“精准”，但10%概率可能错，比如ta实际116斤或122斤）。  
- **95%置信度**：你说“我95%把握ta体重在116-122斤之间”（区间稍宽，更保险，只有5%概率错）。  
- **99%置信度**：你说“我99%把握ta体重在115-123斤之间”（区间更宽，几乎不会错，但可能把范围说得太大，比如115-123斤对“猜体重”来说不够精准）。

### **三、统计中的实际影响：以“总体均值估计”为例**  
假设我们想估计某城市居民的平均月收入（总体均值μ），随机抽取100人，计算得样本均值$\bar{x}=8000$元，样本标准差$s=2000$元（标准误$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2000}{10} = 200$元）。

根据中心极限定理（大样本），用正态分布临界值计算三种置信度的区间：

#### 1. **90%置信度（α=0.1）**  
- 临界值$z_{\alpha/2} = z_{0.05} ≈ 1.645$（查标准正态分布表，双侧尾部各5%对应的z值）；  
- 置信区间：$8000 ± 1.645×200 = [7671, 8329]$元；  
- 特点：区间最窄（宽度=8329-7671=658元），但10%概率可能不包含真实均值（比如真实均值是8500元）。

#### 2. **95%置信度（α=0.05）**  
- 临界值$z_{\alpha/2} = z_{0.025} ≈ 1.96$（双侧尾部各2.5%对应的z值）；  
- 置信区间：$8000 ± 1.96×200 = [7608, 8392]$元；  
- 特点：区间稍宽（宽度=784元），5%概率可能“翻车”，是学术和工业中最常用的“平衡选择”（兼顾可靠性和精度）。

#### 3. **99%置信度（α=0.01）**  
- 临界值$z_{\alpha/2} = z_{0.005} ≈ 2.576$（双侧尾部各0.5%对应的z值）；  
- 置信区间：$8000 ± 2.576×200 = [7485, 8515]$元；  
- 特点：区间最宽（宽度=1030元），仅1%概率“翻车”，适合对可靠性要求极高的场景（如药品试验中证明“副作用发生率低于0.1%”）。

上面的三个临界值的具体意义可以参见下一节，但是对应的临界值最好记住：

## 记住三个临界值
参考上面的介绍，可以得到三个常见的临界值。
（1）90% 对应的临界值为1.645
（2）95% 对应的临界值为1.96
（3）99% 对应的临界值为2.576
可以看到，置信度越大，对应的临界值也越大。这其实也比较好理解。比如你体重为119斤，我估计你的体重有99%的可能性50斤-150斤之间，这么说没毛

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