最后更新: 2024-11-21 20:31 查看: 328 次反馈刷题

区间估计(置信区间)

## 置信区间定义
设 $\left(X_1, X_2 \cdots, X_n\right)$ 是来自总体 $f(x, \theta)$ 的样本，其中参数 $\theta \in \Theta$ 末知，对给定 的 $0<\alpha<1$ ，若存在统计量 $\theta_1\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \theta_2\left(X_1, \cdots, X_n\right)$, 使得

$$
P\left(\theta_1 \left(X_1, \cdots, X_n\right) \leq \theta \leq \theta_2\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right) \geq 1-\alpha
$$

那么称随机区间 $\left[\theta_1\left(X_1, \cdots, X_n\right), \theta_2 \left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ **置信区间**; 称 $1-\alpha$ 为 **置信水平**;

称 $\theta_1 $ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的下限; 称 $\theta_2$ 为 $\theta$ 的双侧 $1-\alpha$ 置信区间的上限， 简称双侧置信下限或者上限.

抽样以后就得到置信区间的观测值:

$$
\left[\theta_1 \left(x_1, \cdots, x_n\right), \theta_2\left(x_1, \cdots, x_n\right)\right]
$$

## 置信区间的通俗解释
我们通常使用学生的身高来解释置信区间，假设学校初中生的身高分布服从如下正态分布 $(\mu=145, \sigma=1.4)$ :
$ X \sim N\left(145,1.4^2\right)$ 也就是说全体人类的平均身高为 145 cm ，为了表示只有上帝可以看到，我把**真实分布**用虚线来表示:
 ![图片](/uploads/2024-10/43fd2e.jpg){width=400px}

我们不可能把每个学生身高都测量出来，我们只能在人群中抽样统计，比如下面是一次抽样数据，我把算出来的样本均值（记作 $\hat{\mu}$ ) 画在图上（**蓝色的点**）：

![图片](/uploads/2024-10/77e9f3.jpg){width=430px}
 
 $\hat{\mu}$ 就是对真实的 $\mu$ 的一次点估计。通过一次次的抽样，我们可以算出不同的身高均值的点估计:
  ![图片](/uploads/2024-10/25f54c.jpg){width=400px}
 
 **上图是在知道真实值的情况下，如果没有真实值，我们其实并不容易分辨不出哪个点估计更好**： 
  ![图片](/uploads/2024-10/1f8a25.jpg){width=400px}
 
 为此提出了置信区间，他提供了一种区间估计的方法。想象一下，我们拿一把尺子，尺子中心点对准采样的样本点，那么尺子左端点和右端点形成一个区间，这个区间称作置信区间。
 下面采用 $95 \%$ 置信区间来构造区间估计
  ![图片](/uploads/2024-10/5b5e0e.jpg){width=400px}
  
  关闭真实值的置信区间是如下的样子。
  ![图片](/uploads/2024-10/24a563.jpg){width=400px}
  
 上图显示有7把“尺子”，在关闭真实值的情况下，我们要从这7把尺子里找到最符合真实值的区间，这就是我们本节要研究的工作。

## 置信区间估计
置信区间，提供了一种区间估计的方法。下面采用 $95 \%$ 置信区间来构造区间估计。也就是尽可能这个尺子套在95%的可能性范围内。
 ![图片](/uploads/2024-11/ca256d.jpg){width=400px}
 
 通过 $95 \%$ 置信区间构造出来的区间，我们可以看到，基本上都包含了真实的 ${ }^\mu$ ，除了红色的那根。
关闭上帝视角，我们仍然不知道哪一个区间估计更好：
 ![图片](/uploads/2024-11/6e69c1.jpg){width=400px}
但是，和点估计比较：
- 点估计和区间估计，都不知道哪个点或者哪个区间更好
- 但是，按照 $95 \%$ 置信区间构造出来的区间，随便选一个区间，有 $95 \%$ 的概率会包含 $\hat{\mu}$

这就好像用渔网捞鱼，我知道每一网下去有 $95 \%$ 的几率捞到想要的那条鱼，但是并不知道是不是现在这一网:

### $95 \%$ 置信区间
假设人群的身高服从:

$$
X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)
$$

其中 $\mu$ 未知，$\sigma$已知。
我们不断对人群进行采样，样本的大小为 $n$ ，样本的均值:

$$
M=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}
$$

根据大数定律和中心极限定律， $M$服从：

$$
M \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
$$

我们可以算出以 $\mu$为中心，面积为  0.95的区间，如下图
 ![图片](/uploads/2024-11/82a250.jpg){width=400px}

即:

$$
P\left(\mu-1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq M \leq \mu+1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=0.95
$$

也就是， $M$有  $95 \% $ 的几率落入此区间:

![图片](/uploads/2024-11/0987f0.jpg){width=400px}
 
 那自然，我们以 $1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 为半径做区间，有 $95 \%$ 的概率把 $\mu$包含进去:
 
  ![6.gif](/uploads/2024-11/e4fdc5.gif){width=400px}
  
  那么，只有一个问题了，我们不知道、并且永远都不会知道真实的 $\hat{\mu}$是多少。

我们就只有用 $\hat{\mu}$来代替 $\mu$ :

$$
P\left(\hat{\mu}-1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq M \leq \hat{\mu}+1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \approx 0.95
$$

## 置信上下限

### 同等置信区间定义1
如对给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$, 对任意的 $\theta \in \Theta$, 有

$$
P_\theta\left(\hat{\theta}_1 \leqslant \theta \leqslant \hat{\theta}_2\right)=1-\alpha,
$$

则称 $\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\right]$ 为 $\theta$ 的 $1-\alpha$ 同等置信区间.

在一些实际问题中, 人们感兴趣的有时仅仅是未知参数的一个下限或一个上限.譬如, 对某种产品的平均寿命来说, 我们希望它越大越好, 因此人们关心的是它的 0.90置信下限是多少, 此下限标志了该产品的质量, 它的一般定义如下.

### 置信上限定义2
若有统计量 $\bar{\theta}=\bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ ，使得 $P_\theta(\theta \leq \bar{\theta}) \geq 1-\alpha, \theta \in \Theta$ 则称 $\left(-\infty, \bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间， $\bar{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信上限.

### 置信下限定义3
若有统计量 $\underline{\theta}=\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ ，使得 $P_\theta(\theta \geq \underline{\theta}) \geq 1-\alpha, \theta \in \Theta$ 则称 $\left[\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right),+\infty\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间， $\underline{\theta}\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 为 $\theta$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信下限.

刷题

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