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概率论与数理统计
第七篇 参数估计
区间估计概述
最后
更新:
2026-01-06 07:53
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区间估计概述
### 引言 在上一节中我们讨论了参数的点估计,只要给定样本的观测值,就能得到参数$\theta$的估计值.但是,估计值只是$\theta$的一个近似值,它与$\theta$真值的误差是多少并不知道,而在实际问题中,这种误差的大小往往是人们比较关心的.例如,在产品交易过程中,需要通过抽样对次品率进行估计,若估计误差达到1%,就可能对交易的某一方带来重大损失.因此,在实际应用中,不仅需要知道参数$\theta$的估计值,还需要找到参数的估计范围来体现估计的精度.为此,我们要根据样本构造一个包含$\theta$真值的范围或区间,并且使其包含$\theta$真值的概率达到指定的要求.这种区间称为**置信区间**,通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为**区间估计**. 区间估计是参数估计的另一种方式,它弥补了点估计在某些方面的缺陷.例如,在估计某行业人员的平均月收入时,可以说“平均月收入5000元”,这就是点估计;也可以说“平均月收入在4800元至5200元之间”,这就是区间估计.显然后者的信息量更大,更有参考价值. ## 区间估计的概念 **定义** 设 $\theta$ 为总体的未知参数,若对于给定的 $\alpha(0<\alpha<1)$ ,存在统计量 $\hat{\theta}_1=\hat{\theta}_1\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 和 $\hat{\theta}_2=\hat{\theta}_2\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ ,使 $$ P\left\{\hat{\theta}_1 \leqslant \theta \leqslant \hat{\theta}_2\right\}=1-\alpha, ...(7.6) $$ 则称随机区间 $\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\right]$ 为参数 $\theta$ 的置信度(或置信水平)为 $1-\alpha$ 的置信区间,$\hat{\theta}_1$ 和 $\h
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