最后更新: 2024-11-21 09:28 查看: 143 次反馈刷题

区间估计概述

### 引言
点估计是用一个点 (即一个数) 去估计未知参数. 比如这个产品费用估计是1000元，而区间估计是一个范围估计，例如这个产品的费用在 800-1200 元（前面介绍的点估计，核心是**使用样本均值当作总体的数学期望值**。）.
区间估计是一种很常用的估计形式，其好处是把可能的误差用醒目的形式标出来了。当你估计费用需 1000 元, 我相信多少会有误差。误差多少? 单从你提出的 1000 这个数字还给不出什么信息。你若估计费用在 $800 \sim$ 1200 元之间，则人们会相信你在作出这估计时，已把可能出现的误差考虑到了，多少给人们以更大的信任感。

## 区间估计
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是从该总体中抽出的样本. 所谓 $\theta$ 的区间估计,就是满足条件 $\widehat{\theta}_1\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leqslant \hat{\theta}_2\left(X_1, \cdots, X_n\right)$ 的两个统计量 $\hat{\theta}_1$, $\hat{\theta}_2$ 为端点的区间 $\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\right]$ 。一旦有了样本 $X_1, \cdots, X_n$, 就把 $\theta$ 估计在区间 $\left[\hat{\theta}_1\left(X_1, \cdots, X_n\right), \hat{\theta}_2\left(X_1, \cdots, X_n\right)\right]$ 之内, 不难理解, 这里有两个要求：

（1）$\theta$ 要以很大的**尽可能**性落在区间 $\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\right]$ 内，也就是说，概率

$$
P_\theta\left(\hat{\theta}_1\left(X_1, \cdots, X_n\right) \leqslant \theta \leqslant \hat{\theta}_2\left(X_i, \cdots, X_n\right)\right) ...(7.6)
$$
要尽可能大.

（2）估计的精密度要尽可能高. 换句话说, 要求区间的长度 $\hat{\theta}_2-$ $\hat{\theta}_1$ 尽可能小。

比如估计一个班里的男生的平均身高，已知身高服从正态分布即$X \sim N(\mu,\sigma^2)$ 这里$\mu,\sigma$ 都是未知的，假设老师测量了10个学生，平均身高是170cm，在点估计里就假设$\hat{\mu}=170$，但是总体的实际值可能是169cm，也有可能是171， 不一定正好是你用的均值170cm，因此，采用区间估计，我估计$\hat{\mu}$取值范围在$169 \le \mu 171$ 比价好。也就是，学生的平均身高可能子啊169.4或170.8都可以，总之，要尽可能落在我评估的区段内。

## 评估区间估计好不好的指标
估一个人的年龄在某一区间内，例如 $[30,35]$ 内. 比估计一人的年龄在 $10-90$ 岁之间好，后者虽然可靠了，但精度太差，用处不大。

但这两个要求是相互矛盾的，在这种情况下，我们就希望区间估计时，**一方面尽可能可靠，一方面要尽可能准确**。

给定一个很小的数 $\alpha>0$. 如果对参数 $\theta$ 的任何值，概率（7.6）都等于 $1-\alpha$ ，则称区间估计 $\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2\right]$ 的置信系数为 
$1-\alpha$.
区间估计也常称为"置信区间"。字面上的意思是：对该区间能包含未知参数 $\theta$ 可置信到何种程度.

刷题

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