最后更新: 2026-01-05 19:48 查看: 675 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

相合性

> 评价点估计好不好有三个指标：[无偏性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=573)是指估计量的期望和总体期望一样。 [有效性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3063)是指估计量的方差应尽可能小，[相合性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=575)是指当取样数量无限大时，估计量和真实值应无限接近

## 相合性(一致性)
**相合性的通俗解释**：无偏性和有效性都是在样本容量n固定的前提下提出的，在参数估计中，很容易想到：如果样本容量越大，样本所含的总体分布的信息应该越多，也就是说样本容量越大就越能精确地估计总体的未知参数．随着n的无限增大，一个“好”的估计量与待估参数的真值之间任意接近的可能性会越来越大．估计量的这种性质称为相合性或一致性．

> 上面这句话转换为数学语言就是当n趋于无穷大时，参数的真实值和估算值的误差，要多小有多少小（就是把高等数学极限那个理论拿过来用）。

设 $\theta$ 是总体的未知参数，$\hat{\theta}_n = \hat{\theta}(X_1, X_2, \dots, X_n)$ 是基于容量为 $n$ 的样本得到的估计量（$X_1,\dots,X_n$ 为独立同分布的样本）。若对于任意 $\varepsilon > 0$，有：
$$
\lim_{n \to \infty} P\left( |\hat{\theta}_n - \theta| \geq \varepsilon \right) = 0
$$
则称 $\hat{\theta}_n$ 是 $\theta$ 的**相合估计量**（或一致估计量）。

直观理解：随着样本量 $n$ 增大，估计量 $\hat{\theta}_n$ 与真实参数 $\theta$ 的偏差超过任意小正数 $\varepsilon$ 的概率趋近于0，即估计量“越来越接近”真实值。

#### 分类：
- **弱相合**：上述定义中的概率收敛（依概率收敛），是最常用的相合性。
- **强相合**：估计量几乎必然收敛到真实值，即 $P\left( \lim_{n \to \infty} \hat{\theta}_n = \theta \right) = 1$（比弱相合更强）。

**例子**：
- 样本均值 $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ 是总体均值 $\mu$ 的相合估计量（由大数定律保证）。
- 样本方差 $S_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2$ 是总体方差 $\sigma^2$ 的相合估计量（需验证其方差随 $n$ 增大趋于0）。

`例`设 $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ 是取自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个样本，其中 $\sigma^2>0$ 未知，令 $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ，试证 $\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计量.

证明
易见 $E\left(\hat{\sigma}^2\right)=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i^2\right)=\sigma^2$, 又 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$,
所以 $D\left(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=2 n$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时， $D\left(\hat{\sigma}^2\right)=D\left(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right) \cdot \frac{\sigma^4}{n^2}=\frac{2 \sigma^4}{n} \rightarrow 0$.
由定理 2， $\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计量.

`例`设总体 $X \sim B(1, p)$ ，其中 $0<p<1$ 未知， $p$ 的

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