最后更新: 2024-10-28 22:07 查看: 552 次反馈刷题

相合性

## 相合性
如果 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的一个无偏估计，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} D(\hat{\theta})=0$ ，那么 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的相合估计量.
证明 由题意知 $E(\hat{\theta})=\theta$ ，根据切比雪夫不等式，当 $n \rightarrow \infty$ ，对任给 $\varepsilon>0$ ，
因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} D(\hat{\theta})=0 ， P(|\hat{\theta}-\theta| \geq \varepsilon)^{n \rightarrow \infty} \rightarrow 0$, 即 $\hat{\theta} \stackrel{P}{\rightarrow} \theta ， \hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的一个相合估计量.

### 相合性解释
在证明大数定理说: 若 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布, 其公共均值为 $\theta$. 记 $\bar{X}_n=$ $\sum_{i=1}^n X_i / n$, 则对任给 $\varepsilon>0$, 有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\bar{X}_n-\theta\right| \geqslant \varepsilon\right)=0  ...(7.5)
$$

在证明这个定理时假定了 $X_i$ 的方差存在有限。但我们曾指出：方差存在的条件并非必要

现在我们可以从估计的观点对 （7.5） 作一个解释. 我们把 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 看作是从某一总体中抽出的样本。抽样的目的是估计该总体的均值 $\theta$ 。概率 $P\left(\left|\bar{X}_n-\theta\right| \geqslant \varepsilon\right)$ 是: "当样本大小为 $n$时，样本均值 $\bar{X}_n$ 这个估计与真值 $\theta$ 的偏离达到 $\varepsilon$ 这么大或更大"的可能性。 （7.5）表明: 随着 $n$ 的增加，这种可能性愈来愈小以至趋于 0 . 这就是说, 只要样本大小 $n$ 足够大, 用样本均值去估计总体均值，其误差可以任意小。在数理统计学上，就把 $\bar{X}_n$ 称为是 $\theta$ 的 "相合估计". 字面的意思是: 随着样本大小的增加, 被估计的量与估计量逐渐"合"在一起了。

在讲述大数定理时我们曾引进过"依概率收敛"的术语。使用这个术语，相合性可简单地描述为：如果当样本大小无限增加时，估计量依概率收玫于被估计的值，则称该估计量是相合估计。

相合性是对一个估计量的最基本的要求。如果一个估计量没有相合性, 那么, 无论样本大小多大, 我们也不可能把未知参数估计到任意预定的精度。这种估计量显然是不可取的。

如同样本均值的相合性那样，常见的矩估计量的相合性，都可以基于大数定理得到证明。我们再以用二阶中心矩 $m_2(n)$ $=\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}_n\right)^2 / n$ 为例. 以 $a$ 和 $\sigma^2$ 分别记总体的均值和方差.注意到

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n\left(X_i-a\right)^2 & =\sum_{i=1}^n\left[\left(X_i-\bar{X}_n\right)+\left(\bar{X}_n-a\right)\right]^2 \\
& =\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}_n\right)^2+n\left(\bar{X}_n-a\right)^2
\end{aligned}
$$

知

$$
m_2(n)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-a\right)^2-\left(\bar{X}_n-a\right)^2
$$

依大数定理， $\sum_{i=1}^n\left(X_i-a\right)^2 / n$ 依概率收敛于 $E\left(X_i-a\right)^2=\sigma^2$ ，而 $\bar{X}_n-a$ 依概率收玫于 0 。故 $m_2(n)$ 依概率收敛于 $\sigma^2$ ，即它是总体方差 $\sigma^2$ 的相合估计。因为样本方差与样本二阶中心矩只相差一个因子 $n /(n-1)$ ，而当 $n \rightarrow \infty$ 时这个因子趋于 1 ，知样本方差也是总体方差的相合估计。这样可以证明：前面例子中的许多估计都有相合性。

`例`设 $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ 是取自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个样本，其中 $\sigma^2>0$ 未知，令 $\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ，试证 $\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计量.

证明
易见 $E\left(\hat{\sigma}^2\right)=E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E\left(X_i^2\right)=\sigma^2$, 又 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2(n)$,
所以 $D\left(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right)=2 n$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时， $D\left(\hat{\sigma}^2\right)=D\left(\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2\right) \cdot \frac{\sigma^4}{n^2}=\frac{2 \sigma^4}{n} \rightarrow 0$.
由定理 2， $\hat{\sigma}^2$ 是 $\sigma^2$ 的相合估计量.

`例`设总体 $X \sim B(1, p)$ ，其中 $0<p<1$ 未知， $p$ 的矩 估计量 $\hat{p}=\bar{X}$ ，试证明 $\hat{p}$ 是一个相合估计。

证明
由 $E(\bar{X})=p$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} D(\bar{X})=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{p(1-p)}{n}=0$ ，
知 $\bar{X}$ 是未知参数 $p$ 的相合估计.

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