最后更新: 2026-01-05 14:15 查看: 629 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

无偏性

> 评价点估计好不好有三个指标：[无偏性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=573)是指估计量的**期望**和总体期望一样。 [有效性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3063)是指估计量的**方差**应尽可能小，[相合性](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=575)是指当取样数量**无限大**时，估计量和真实值应无限接近

## 点估计好坏的评价标准 
对于参数估计，采用不同的评估方法会有不同的结论，比如要估算一个学校里男生的平均身高，可以随机抽查100名学生，计算样本的**平均值、中位数、众数、最大值和最小值的平均数、截尾均值**等作为总体的平均值，我们希望得到的估计量能体现总体的真实参数，那么在同一参数的多个估计量当中，哪一个是最好的估计量呢？自然需要给出评价估计量优劣的标准，这就是本节介绍的无偏性、有效性和相合性。

**注：** 截尾均值是指由于均数较易受极端值的影响，因此可以考虑将数据进行行排序后，按照一定比例去掉最两端的数据，只使用中部的数据来求均数这叫做截尾均值

## 无偏性

> **题目释义，偏，偏差的意思。 无偏性，就是没有偏差。无偏性就是要求 样本的期望值 等于 总体的期望值。**

### 定义
估计量 $\hat{\theta}\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是一个随机变量，对于一次具体的观测结果来说，$\hat{\theta}$的取值与真实的参数值 $\theta$ 一般会有偏差，我们希望 $\hat{\theta}$ 的取值能在 $\theta$ 附近波动，而且在多次观测中，$\hat{\theta}$ 的平均值 $E(\hat{\theta})$ 应与 $\theta$ 吻合，由此引出了无偏性的概念．

> 设 $\hat{\theta}=\hat{\theta}\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是未知参数 $\theta$ 的估计量，若$E(\hat{\theta})=\theta$ 则称 $\hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量． 如果 $\lim  \hat{(\theta})=\theta$ 称为渐进无偏估计。

在实际应用中，要求估计量具有无偏性是有实际意义的．例如，在大批商品的交易中，买卖双方一般通过抽样去估计产品的次品率．若估计值高于实际值，将给卖家带来损失．反之，若估计值低于实际值，就会给买家带来损失．但只要采用的估计量是无偏估计量，而且双方的买卖是长期的，则总的来说是互不吃亏的．

##  无偏性解释
可以把无偏性类比成**打靶**：
- 无偏估计：子弹的平均落点正好是靶心（真实值），个别子弹可能偏左或偏右，但没有固定偏向。
- 有偏估计：子弹的平均落点偏离靶心，比如总是偏左，这就是系统性偏差。

> 无偏性一个更简单解释：比如你要估算全班学生的身高，你随机找10个同学进行测量，然后使用他们的平均身高当做全班学生的身高，这种方法就是**无偏性估计**。相反，如果你要估算全班学生的身高，然后找到班里最高的10个同学进行测量，然后用他们的平均身高当成全班学生的身高，这显然是不合理的，也就是这种方法是**有偏向估计**。

估计量的无偏性有两个含义. 第一个含义是**没有系统性的偏差**，不论你用什么样的估计量 $\hat{\theta}$ 去估计 $\theta$ ，总是时而偏低, 时而偏高. 无偏性表示, 把这些正负偏差在概率上平均起来，其值为 0 。比如您买了一瓶饮料，虽然包装上标准为500ml，但是由于机器问题导致有时候保证超过500ml一点，有时候低于500ml一点，只要再合理范围，我们认为这都是合格的，因此, 无偏估计不等于在任何时候都给出正确无误的估计.

第二个含义是无偏性**是对估计量“长期表现”的评价，与单次估计结果无关**
这是无偏性的重要属性，也是最容易被误解的点。
- 无偏性描述的是**估计量的整体性质**，不是单次抽样得到的估计值的性质。
- 一个无偏估计量，**单次估计值完全可能偏离真实值**（这是随机误差导致的），但只要我们反复抽样、计算估计值，这些估计值的平均值会无限趋近于真实参数。

举个例子：用样本均值 $\bar{X}$ 估计总体均值 $\mu$，它是无偏的。你抽一次样本算出来的 $\bar{X}_1$ 可能比 $\mu$ 大，再抽一次算出来的 $\bar{X}_2$ 可能比 $\mu$ 小，但把成百上千次的 $\bar{X}$ 求平均，结果会非常接近 $\mu$。

## 基础例题

`例` 已知总体 $X$ 的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，$X_1,X_2,\dots,X_n$ 是来自总体的简单随机样本，构造估计量：
$$\hat{\mu}_1=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i,\quad \hat{\mu}_2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n X_i$$
判断这两个估计量是否为 $\mu$ 的无偏估计，并解释结果体现的含义。

解：根据定义，判断是否是无偏性就是看期望值和均值是否相等。
1.  计算 $\hat{\mu}_1$ 的期望
    $$E(\hat{\mu}_1)=E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$$
    满足 $E(\hat{\mu}_1)=\mu$，因此 $\hat{\mu}_1$ 是 $\mu$ 的无偏估计。

2.  计算 $\hat{\mu}_2$ 的期望
    $$E(\hat{\mu}_2)=E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{n}{n-1}\mu$$
    因为 $\frac{n}{n-1}\mu \neq \mu$，因此 $\hat{\mu}_2$ 是 $\mu$ 的有偏估计。

**含义解读：**
- $\hat{\mu}_1$ 无偏 → 用样本均值估计总体均值时，**没有系统性偏差**。无论抽多少次样本，计算出的 $\hat{\mu}_1$ 平均值都会等于 $\mu$。
- $\hat{\mu}_2$ 有偏 → 这个估计量的平均值是 $\frac{n}{n-1}\mu$，总是比真实值 $\mu$ 大，存在**系统性偏高的偏差**。

> **例1表达了一个重要结论：样本均值是总体均值的无偏性估计。**

`例` 已知 $B_2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 和 $S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 都是总体方差 $\sigma^2$ 的估计量，问：哪个估计量更好？

解： 要判断 $B_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$ 和 $S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$ 哪个更好，需要结合**无偏性**和**有效性**两大标准综合分析
 
**1. 第一步：判断无偏性**
我们先推导两个估计量的期望，核心结论是：
- $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的**无偏估计**，即 $E(S^2)=\sigma^2$
- $B_2$ 是 $\sigma^2$ 的**有偏估计**，即 $E(B_2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2$

**简单推导过程**：
根据方差的性质，有 $\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2+n(\bar{X}-\mu)^2$，两边取期望得：
$$n\sig

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