最后更新: 2025-01-15 06:31 查看: 236 次反馈刷题

可导与可微的区别

## 连续与可导（一元）
### 连续函数
从几何图上看，就是函数在$x_0$处没有断点。
 ![图片](/uploads/2024-11/b21465.jpg){width=200px}
 
### 不连续函数
从几何图上看，就是函数在$x_0$处有断点。
 ![图片](/uploads/2024-11/47dcc7.jpg){width=200px}
 
### 可导函数
从几何图上看，函数在$x_0$处是光滑的
 ![图片](/uploads/2024-11/d4371a.jpg){width=200px}

### 不可导函数
从几何图上看，函数在$x_0$处有“尖角”
 ![图片](/uploads/2024-11/6ce161.jpg){width=200px}
 比如常见的 $y=|x|$在$x=0$处不可导。
 
> 总结：连续函数不一定可导，但是可导函数一定连续。

## 收敛与有界的区别（一元）
### 收敛函数
从图形上看，从某个时候开始，离一个点越来越近。比如 $y=sin x$
 ![图片](/uploads/2024-11/228335.jpg){width=200px}

### 有界函数
从图形上看，撑死不会超过某个范围。

但是记住特列，例如数列$x_n=(-1)^n+1$ 可以看到，他的值在$-1,1$之间切换，**所以他是有界的，但是不是收敛的**。

> 总结 收敛一定有界。都说越来越近了，不会离得太远。但反过来，有界不一定收敛。

## 可微与可导（一元）

导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率
微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
 
从几何图形上，一元函数的可微和与可导本质上没区别。

![图片](/uploads/2024-11/f9a47d.jpg){width=200px}
 
> 对于一元函数来说，可微一定可导，可导也一定可微，可微和可导是相同的概念，都意味着函数在该点存在唯一的切线
 
 
 下面这个图虽然不雅观，但是容易理解，一排共享单车放着，连续，可导关系
  ![图片](/uploads/2024-11/94de41.jpg){width=500px}
 
 
 ##  连续与可导（二元）
 多多元函数来说，连续不一定可导，可导也不一定连续，记住几个特列来理解这些概念。
 
 ### 连续推不出可导和可微
(1) $f(x, y)=|x|+|y|$ 在点 $(0,0)$ 点连续，但不可导（也不可微）即连续 $\Rightarrow$ 可导以及可微
 
 证明: $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(|x|+|y|)=0=f(0,0)$.
即 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续
$f_x(x, y)=f_x(x, 0)=|x| . \quad \therefore f_x(0,0)$ 不存在.
同理 $f_y(0,0)$ 不存在 、即不可导
得证。

### 可导（偏导数）推不出连续
 (2)
 $$
 f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\
0 & (x, y)=(0,0)
\end{array} \text { 在 }(0,0)\right. \text { 点. }
$$

证明：

$$
\begin{aligned}
f_x^{\prime}(0,0) & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0
\end{aligned}
$$

由对称性得 $f_y^{\prime}(0,0)=0$即 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可导。
由于 $\lim _{y=kx} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{k x^2}{x^2+k^2 x^2}=\frac{k}{1+k^2}$
则 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不存在。
得证。

### 可导推不出可微
比如

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x, y) \neq(0,0) \\
0 & (x, y)=(0,0)
\end{array} \text { 在 }(0,0) \right.
$$

证明: $f_x(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0$

$$
f_y(0,0)=0
$$

$\therefore f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可导

用定义判定可微性两步曲：
a) $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 与 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 是否都存在。

若不存在、则直接不可微
b) $\lim _{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{\Delta z-\left[f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right), \Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$ 是否为零?

若为零：则可微，若不存在或（存在但不为零）则不可微
$$
\begin{aligned}
&\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left[\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}-0\right]-[0 \cdot \Delta x+0 \cdot \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\\
&\text { 所以 } f(x, y) \text { 在 }(0,0) \text { 处不可微。 }
\end{aligned}
$$

### 可微推不出连导数连续(但是偏导数连续可以推出可微)
 (4) 
$$
 f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\
0 & (x, y)=(0,0)
\end{array} \text { 在 }(0,0)\right. 
$$
点可微，但偏导数不连续

> 偏导数与连续的关系通常采用“下山”进行类比，如下图

![图片](/uploads/2024-11/2e5773.jpg)
 
 
 ## 一元的导数与微分
 要搞清楚"微分和导数的关系是什么"，首先要知道微分和导数是什么。首先来看导数，其实这个概念早在高中就出现了。
**导数**：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某领域内有定义，如果极限

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
$$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并称上述极限值为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 ，记作 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 。

根据上面的定义，可以看出，导数其实是曲线 $y=f(x)$ 上两个点 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 和 $\left(x_0+h, f\left(x_0+h\right)\right)$ 的连线的斜率 $\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$ 当 $h \rightarrow 0$ 时的极限值。

这个值刻画着，随着 $x$ 的变化 (增加或减少)， $y=f(x)$ 应该变化 (增加或减少) 多少。因此这个值也可以称作函数的变化率。
 ![图片](/uploads/2024-11/ae89f6.jpg){width=300px}

了解了导数之后，我们再来看微分的概念。

**微分**：设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，若存在实数 $A$ ，使得

$$
f\left(x_0+\Delta x\right)=f\left(x_0\right)+A \Delta x+o(\Delta x)
$$

其中 $\Delta x \rightarrow 0$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微（differentiable），并称线性部分 $A \Delta x$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$处的微分 ，记作 $d y$ 。

可以看出，微分的定义和导数的定义是非常像的，也可以将其写成

$$
f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+A h+o(h)
$$

可以认为，微分是用线性函数 $y_1=f\left(x_0\right)+A h$ 来替代函数 $y_2=f\left(x_0+h\right)$ ，而在 $h \rightarrow 0$时，这两个函数应该是无限接近的，因此 $y_2=y_1+o(h)$ 。

综上，导数的几何意义是"变化率"，而微分的几何意义是"线性替代"。
这便解决了"两者的几何意义有什么不同"的问题。
二、导数和微分的联系

可以证明， $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微当且仅当 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。并且，微分值和导数值是相等的。
因此，导数也可以记作 $\frac{ d y}{d x}$ ，可导和可微平时也是不做区分的。
但是，不能仅仅凭"直觉"就断定这两个定义是等价的，在下面给出证明。
（1）若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则其在 $x_0$ 处连续，且极限

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
$$

存在，记其的值为 $A$ ，则有

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)-A h}{h}=0
$$

将其写成

$$
\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)-A h}{h}=o(1)
$$

整理可得

$$
f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+A h+o(h)
$$
也即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，则存在实数 $A$ ，使得

$$
f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+A h+o(h)
$$

整理得

$$
\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=A+o(1)
$$

因此

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}=A
$$

也即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

以上过程说明了，可导性和可微性 + 是等价的，同时导数值和微分值是相等的。这便解决了"微分和导数的关系是什么"这个问题。

## 多元函数的导数与微分
相较于一元函数差别还是很大的。多元函数的导数一般指的偏导数，他通常类别“下山”，从山上往下下，有很多道，所以，多元函数偏导数需要指明是沿着哪条道。
 ![图片](/uploads/2024-11/3028c3.jpg){width=300px}
 
 取二元函数 $z = f ( x , y )$ ，取点 $A=\left(x_0, y_0\right)$ ，若存在常数 a 与 b ，满足

$$
\Delta z=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)=a \Delta x+b \Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)
$$

称函数 $z = f ( x , y )$ 在点 A 可微（differentiable），称 $\Delta z$ 是 $z = f ( x , y )$ 在点 A 的微分 。

微分与偏导数  
(1)式中的常数 a 与 b 能不能求出来呢?

例如求 a ，可以在(1)式中取 $\Delta y=0$ ，然后在两边同时除以 $\Delta x$ 并取趋于 0 的极限，即

$$
\left.\frac{\Delta z}{\Delta x}\right|_{\Delta y=0}=\frac{f\left(s_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}=\frac{a \Delta x+o\left(\sqrt{(\Delta x)^2}\right)}{\Delta x}
$$

取 $\Delta x \rightarrow 0$ 的极限即可得 $f_x^{\prime}(A)=a$ ，同理可得 $f_y^{\prime}(A)=b$ 。
于是，我们证明了以下很重要的结论:

二元函数 $z=f(x, y)$ 可微的点必可 $x$ 与 $y$ 偏导，且微分必满足

$$
\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right)
$$

## 微分与全微分

一元微分物理意义：
一个正方形平面薄板，边长为30cm，受热膨胀，边长增加0.01cm，因为膨胀很小，可以使用微分

多元微分物理意义,一个圆柱收到压缩， 半径从20cm增加到20.05cm，高度从100cm压缩为99cm，这就是全微分

开VIP会员

非会员每天6篇，会员每天16篇，VIP会员无限制访问

题库训练自我测评投稿

上一篇：导数在经济学中的应用

下一篇：没有了

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)