最后更新: 2025-01-15 06:31 查看: 331 次反馈同步训练

可导与可微的区别

## 连续与可导（一元）
### 连续函数
从几何图上看，就是函数在$x_0$处没有断点。
 ![图片](/uploads/2024-11/b21465.jpg){width=200px}
 
### 不连续函数
从几何图上看，就是函数在$x_0$处有断点。
 ![图片](/uploads/2024-11/47dcc7.jpg){width=200px}
 
### 可导函数
从几何图上看，函数在$x_0$处是光滑的
 ![图片](/uploads/2024-11/d4371a.jpg){width=200px}

### 不可导函数
从几何图上看，函数在$x_0$处有“尖角”
 ![图片](/uploads/2024-11/6ce161.jpg){width=200px}
 比如常见的 $y=|x|$在$x=0$处不可导。
 
> 总结：连续函数不一定可导，但是可导函数一定连续。

## 收敛与有界的区别（一元）
### 收敛函数
从图形上看，从某个时候开始，离一个点越来越近。比如 $y=sin x$
 ![图片](/uploads/2024-11/228335.jpg){width=200px}

### 有界函数
从图形上看，撑死不会超过某个范围。

但是记住特列，例如数列$x_n=(-1)^n+1$ 可以看到，他的值在$-1,1$之间切换，**所以他是有界的，但是不是收敛的**。

> 总结 收敛一定有界。都说越来越近了，不会离得太远。但反过来，有界不一定收敛。

## 可微与可导（一元）

导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率
微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值
 
从几何图形上，一元函数的可微和与可导本质上没区别。

![图片](/uploads/2024-11/f9a47d.jpg){width=200px}
 
> 对于一元函数来说，可微一定可导，可导也一定可微，可微和可导是相同的概念，都意味着函数在该点存在唯一的切线
 
 
 下面这个图虽然不雅观，但是容易理解，一排共享单车放着，连续，可导关系
  ![图片](/uploads/2024-11/94de41.jpg){width=500px}
 
 
 ##  连续与可导（二元）
 多多元函数来说，连续不一定可导，可导也不一定连续，记住几个特列来理解这些概念。
 
 ### 连续推不出可导和可微
(1) $f(x, y)=|x|+|y|$ 在点 $(0,0)$ 点连续，但不可导（也不可微）即连续 $\Rightarrow$ 可导以及可微
 
 证明: $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}(|x|+|y|)=0=f(0,0)$.
即 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续
$f_x(x, y)=f_x(x, 0)=|x| . \quad \therefore f_x(0,0)$ 不存在.
同理 $f_y(0,0)$ 不存在 、即不可导
得证。

### 可导（偏导数）推不出连续
 (2)
 $$
 f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\
0 & (x, y)=(0,0)
\end{array} \text { 在 }(0,0)\right. \text { 点. }
$$

证明：

$$
\begin{aligned}
f_x^{\prime}(0,0) & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0
\end{aligned}
$$

由对称性得 $f_y^{\prime}(0,0)=0$即 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可导。
由于 $\lim _{y=kx} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{k x^2}{x^2+k^2 x^2}=\frac{k}{1+k^2}$
则 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不存在。
得证。

### 可导推不出可微
比如

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x, y) \neq(0,0) \\
0 & (x, y)=(0,0)
\end{array} \text { 在 }(0,0) \right.
$$

证明: $f_x(0,0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{0-0}{\Delta x}=0$

$$
f_y(0,0)=0
$$

$\therefore f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可导

用定义判定可微性两步曲：
a) $f_x\left(x_0, y_0\right)$ 与 $f_y\left(x_0, y_0\right)$ 是否都存在。

若不存在、则直接不可微
b) $\lim _{(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)} \frac{\Delta z-\left[f_x\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y\left(x_0, y_0\right), \Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$ 是否为零?

若为零：则可微，若不存在或（存在但不为零）则不可微
$$
\begin{aligned}
&\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\left[\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}-0\right]-[0 \cdot \Delta x+0 \cdot \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\\
&\text { 所以 } f(x, y) \text { 在 }(0,0) \text { 处不可微。 }
\end{aligned}
$$

### 可微推不出连导数连续(但是偏导数连续可以推出可微)
 (4) 
$$
 f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\
0 & (x, y)=(0,0)
\end{array} \text { 在 }(0,0)\right. 
$$
点可微，但偏导数不连续

> 偏导数与连续的关系通常采用“下山”进行类比，如下图

![图片](/uploads/2024-11/2e5773.jpg)
 
 
 ## 一元的导数与微分
 要搞清楚"微分和导数的关系是什么"，首先要知道微分和导数是什么。首先来看导数，其实这个概念早在高中就出现了。
**导数**：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某领域内有定义，如果极限

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
$$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并称上述极限值为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 ，记作 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 。

根据上面的定义，可以看出，导数其实是曲线 $y=f(x)$ 上两个点 $\left(

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