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逆映射的存在性定理与雅可比矩阵

## 逆映射(反函数)的存在性定理

本节简单的说，假设一个函数通过坐标变化从$x_1ox_2$坐标系变到 $y_1oy_2$坐标系，那么，还能否再变回来，即从$y_1oy_2$再变回到$x_1ox_2$
 
 ![图片](/uploads/2025-11/eb9abd.jpg)

我们可以这么想，假设有一个圆经过变化，变成了椭圆，那么后期通过椭圆沿着逆变换还能还原成圆。但是，如果圆经过变化变成了直线，可以想象后期通过直线就无法还原成圆了，这里最大的原因是变成直线时，部分信息丢失。

![图片](/uploads/2025-09/9cff66.jpg)

### 理论说明
关于方程组的隐函数存在定理的一个重要应用就是给出逆映射的存在定理。

我们考虑 $O u v$ 平面的一个区域到 $O x y$ 平面的映射：$(u, v) \mapsto(x, y)$ ，其中

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(u, v), \\
y=y(u, v) .
\end{array}\right.
$$

我们的问题是在怎样的条件下，这个映射有逆映射存在．所谓逆映射实际上就是在一定的范围之内，对于给定的 $(x, y)$ ，根据上述方程组能求得相应的 $(u, v)$ 。如果令 $F(x, y, u, v)=x-x(u, v), G(x, y, u, v)=y-y(u, v)$ ，那么上述方程组可以写成

$$
\left\{\begin{array}{l}
F(x, y, u, v)=0 \\
G(x, y, u, v)=0
\end{array}\right.
$$

而求逆映射的问题也归结为由上述方程组将其中的 $u, v$ 解成 $x, y$ 的函数问题．根据隐函数存在定理，首先应当有一点 $\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)$ 满足上述方程，也即

$$
\begin{aligned}
& x_0-x\left(u_0, v_0\right)=0 \\
& y_0-y\left(u_0, v_0\right)=0
\end{aligned}
$$

其次应当要求 $F$ 及 $G$ 有连续之偏导数，且

$$
\left.\frac{\mathrm{D}(F, G)}{\mathrm{D}(u, v)}\right|_{\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)} \neq 0
$$

显然，只要 $x(u, v)$ 及 $y(u, v)$ 对 $u, v$ 有连续偏导数就保证了 $F$ 及 $G$ 有连续的偏导数．根据 $F$ 与 $G$ 的定义，很容易看出

$$
\frac{\mathrm{D}(F, G)}{\mathrm{D}(u, v)}=\frac{\mathrm{D}(x, y)}{\mathrm{D}(u, v)}
$$

其中 $x, y$ 是指函数 $x(u, v)$ 及 $y(u, v)$ ．这样一来，只需

$$
\left.\frac{\mathrm{D}(x, y)}{\mathrm{D}(u, v)}\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \neq 0
$$

即可保证 $\left.\frac{\mathrm{D}(F, G)}{\mathrm{D}(u, v)}\right|_{\left(x_0, y_0, u_0, v_0\right)} \neq 0$ ．在这些条件下，在 $\left(x_0, y_0\right)$ 点的一个邻域内存在一对函数 $u=u(x, y)$ 及 $v=v(x, y)$ ，使得

$$
u_0=u\left(x_0, y_0\right), \quad v_0=v\left(x_0, y_0\right)
$$

并且它们所决定的映射 $(x, y) \mapsto(u, v)$ 是函数偶 $x=x(u, v), y=y(u, v)$所决定的映射 $(u, v) \mapsto(x

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