最后更新: 2024-10-01 21:32 查看: 300 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

导数在经济学中的应用

经济活动中的要素有成本、收入和利润，而经营决策、效益取决于成本、收入以及二者关于产量的变化率。

##  成本函数 收入函数 利润函数

**成本函数 $C(x)$** 是生产数量为 $x$ 的某种产品的总成本, 它是固定成本与变动成本之和,显然成本函数 $C(x)$ 为单调增函数。

**收入函数 $R(x)$** 表示售出数量为 $x$ 的某种商品所获得的总收入（收入 $=$ 价格 $\times$ 数量），即 $R(x)=P x$ ，其中 $P$ 为产品的价格。

生产经营的决策者十分重视利润，**利润 = 收入 - 成本**，即 $L(x)=R(x)-C(x)$ 。

`例`某工厂生产某种产品，年产量为 $x$ （百台），总成本 $C$ （万元）其中固定成本两万元，每生产 100 台，可变成本增加 1 万元。市场上每年可销售此种商品 400 台，其销售收入 $R$ (万元) 是 $x$ （百台）的函数

$$
R=R(x)= \begin{cases}4 x-\frac{1}{2} x^2 & 0 \leqslant x \leqslant 4 \\ 8 & x>4\end{cases}
$$

写出成本函数和利润函数.
解 成本函数

$$
C=C(x)=2+x
$$

利润函数

$$
L=R(x)-C(x)= \begin{cases}-\frac{1}{2} x^2+3 x-2 & 0 \leqslant x \leqslant 4 \\ 6-x & x>4\end{cases}
$$

##  边际分析

经济学中的边际概念，通常指经济变化的变化率，即是指某一函数中的因变量随着某一自变量的单位变化而产生的变化. 经济学中通常称某一函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime}(x)$ 为边际函数, $f^{\prime}(x)$ 在 $x_0$ 的值称为边际值.

#### 1.边际成本

设某企业生产某种产品的总成本函数为 $C=C(x)$, 其中 $x$ 为单位时间内的产量, 当产量由 $x$ 增加到 $x+h$ 时, 总成本的增长量为 $\Delta C=C(x+h)-C(x)$, 则总成本的平均增长量为

$$
\frac{\Delta C}{h}=\frac{C(x+h)-C(x)}{h}
$$

若 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{C(x+h)-C(x)}{h}$ 存在，则称此极限为产量 $x$ 的边际成本，即 $C^{\prime}(x)$ 为边际成本函数, 记做 $M C$. 由于 $h$ 的最小变化单位只能为 1 , 所以令 $\frac{C(x+h)-C(x)}{h} \approx C^{\prime}(x)$ 中的 $h=1$得

$$
C(x+1)-C(x) \approx C^{\prime}(x)
$$

从上式看到：在经济意义上，边际成本表示在一定产量 $x$ 的基础上，再增加生产一个单位产品所增加的总成本.

由边际成本的意义，得出下述两个结论。
（1）边际成本仅与变动成本有关，与固定成本无关。
（2）设某产品的价格为 $p$, 若 $C^{\prime}(x)<P$, 则可继续增加产量; 若 $C^{\prime}(x)>P$, 则应停止生产, 而在改进质量、提高价格或降低成本上下功夫.

#### 边际收入

边际收入定义为多销售一个单位产品时总收入的增量. 类似边际成本定义, 边际收入为总收入关于产品销售量 $x$ 的变化率, 设收入函数为 $R=R(x)$, 则边际收入为

$$
M R=R^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{R(x+\Delta x)-R(x)}{\Delta x}
$$

边际收入的经济意义是每多销售一个单位产品所增加的收入.

#### 边际利润

设某产品销售量为 $x$ 时的总利润 $L=L(x)$, 当 $L(x)$ 可导时称 $L^{\prime}(x)$ 为销售量为 $x$ 时的边际利润，它近似等于销售量为 $x$ 时再多销售一个单位产品所增加的利润。

根据 $L(x)=R(x)-C(x)$ 得边际利润为

$$
M L=L^{\prime}(x)=R^{\prime}(x)-C^{\prime}(x)
$$

`例`某加工厂生产 A 类产品的总成本（元）函数和总收入（元）函数分别为

$$
\begin{gathered}
C(x)=100+2 x+0.02 x^2 \\
R(x)=7 x+0.01 x^2
\end{gathered}
$$

求边际利润函数及日产量分别是 $200 \mathrm{~kg} 、 250 \mathrm{~kg}$ 和 300 kg 时的边际利润, 并说明其经济意义。

解 总利润函数为

$$
L(x)=R(x)-C(x)=-100+5 x-0.01 x^2
$$

边际利润函数为

$$
L^{\prime}(x)=5-0.02 x
$$

日产量为 $200 \mathrm{~kg} 、 250 \mathrm{~kg}$ 、和 300 kg 时的边际利润分别为

$$
\left.\left.L^{\prime}(200)=1(\text { 元 }), L^{\prime}(250)=0 （ \text { 元 }\right), L^{\prime}(300)=-1 （ \text { 元 }\right) .
$$

其经济意义为：在日产量为 200 kg 的基础上，再增产 1 kg ，则总利润可增加 1 元；在日产量为 250 kg 的基础上，再增产 1 kg ，则总利润无增加；在日产量为 300 kg 时，再增产 1 kg ，反而亏损 1 元。

#### 最大利润

已知总收入 $R(x)$ 和总成本 $C(x)$, 可得利润函数 $L(x)=R(x)-C(x)$. 欲求最大利润,即要求 $L(x)$ 的最大值. 因

根据

$$
L^{\prime}(x)=R^{\prime}(x)-C^{\prime}(x)
$$

令 $L^{\prime}(x)=0$, 得

$$
R^{\prime}(x)=C^{\prime}(x)
$$
这样, 使 $L^{\prime}(x)=0$ 的驻点正是边际收入等于边际成本的产量值 $x$. 若最大利润在区间内取得, 则可得出, 利润在使边际成本等于边际收入时的生产水平上达到最大值, 经济学推断, $L(x)$ 要满足一定的条件才是利润函数, 其条件之一就是 $L(x)$ 在最大生产能力范围,有惟一的极大值, 即存在某一水平的产量 $x_0$, 使得

$$
\begin{aligned}
& L^{\prime}\left(x_0\right)=0, \text { 即 } R^{\prime}\left(x_0\right)=C^{\prime}\left(x_0\right) \\
& L^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0, \text { 即 } R^{\prime \prime}\left(x_0\right)<C^{\prime \prime}\left(x_0\right)
\end{aligned}
$$

不难看出, 在此状态下, 在产量 $x_0$ 水平上再增加产量, 企业的利润反而减少.

`例` 某工厂生产某种产品 $x$ 个单位产品的费用为 $C(x)=5 x+200$ (元), 所得的收入为 $R(x)=10 x-0.01 x^2$ （元），问生产多少个单位产品时才能使利润最大？最大利润为多少?

解 利润函数

$$
\begin{aligned}
L(x)=R(x)-C(x) & =10 x-0.01 x^2-(5 x+200) \\
& =-0.01 x^2+5 x-200 \\
L^{\prime}(x) & =-0.02 x+5 \\
L^{\prime \prime}(x) & =-0.02
\end{aligned}
$$

令 $L^{\prime}(x)=0$, 得 $x=250$, 因为

$$
L^{\prime \prime}(250)=-0.02<0
$$

故在 $x=250$ 时利润最大, 最大利润为

$$
\left.L(250)=-0.01 \times 250^2+5 \times 250-200=445 （ \text { 元 }\right)
$$

## 弹性的概念

在经济问题中，需要定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度，这就要引入弹性的概念.

定义  设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在. 函数的相对变量 $\frac{\Delta y}{y_0}=\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{f\left(x_0\right)}$ 与自变量的相对变量 $\frac{\Delta x}{x_0}$ 之比 $\frac{\Delta y / y_0}{\Delta x / x_0}$, 称为函数 $f(x)$ 从 $x_0$ 到 $x_0+\Delta x$ 间的相对变化率或两点间的弹性.

如果 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y / y_0}{\Delta x / x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_2+\Delta x\right)-f\left(x_2\right) / f\left(x_2\right)}{\Delta x / x_0}$ 存在，则称此极限的值为函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的点弹性, 记做 $\left.\frac{E_y}{E_y}\right|_{x=x_0}$. 由定义得弹性计算公式为

$$
\left.\frac{E_y}{E_x}\right|_{x=x_0}=\frac{x_0}{f\left(x_0\right)} f^{\prime}\left(x_0\right)=\left.\frac{x_0}{f\left(x_0\right)} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}
$$

下面讨论需求弹性。
对于经济中的需求关系，价格是影响需求的主要因素，我们关心的是，当商品价格下降（或提高）一个百分点时，其需求量将可能增减多少个百分点，这就是需求量对价格变动的敏感性问题。

设某商品的需求量 $Q$ 是价格 $P$ 的函数 $Q=Q(P), \frac{\Delta P}{p}$ 和 $\frac{\Delta Q}{Q}$ 分别表示价格和需求量的
增减率, 若 $\lim _{\Delta P \rightarrow 0} \frac{\Delta Q / Q}{\Delta P / P}=\lim _{\Delta P \rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q}=P \cdot \frac{Q^{\prime}(P)}{Q(P)}$ 存在, 则称此极限为需求量对价格的弹性,在经济学中称为需求弹性. 它表示在单价为 $P$ 元时，单价每变动 $1 \%$ ，需求量变化的百分数，也称之为需求量对价格的弹性函数。

`例` 某种商品市场的需求量 $D$ (件) 是价格 $P$ （元）的函数 $D=D(P)=1000 \mathrm{e}^{-0.1 P}$ ，如果这种商品的价格是每件 20 元，求这时需求量对价格的弹性系数 $\frac{E_D}{E_P}$ ，并给出适当的经济解释。

解 由题意得： $D^{\prime}(P)=-100 \mathrm{e}^{-0.1 P}$
当 $P=20$ 时, 有

$$
\begin{gathered}
D(20)=1000 \mathrm{e}^{-2} \approx 135 \quad(\text { 件 }) \\
D^{\prime}(20)=-100 \mathrm{e}^{-2} \approx-13.5 \quad(\text { 件 })
\end{gathered}
$$

于是

$$
\frac{E_D}{E_P}=\frac{P}{D} \frac{\mathrm{~d} D}{\mathrm{~d} P}=\frac{20}{135} \times(-13.5)=-2
$$

这就是说，当这种商品的价格在每件 20 元的水平时，单价格上升 $1 \%$ ，市场需求量相应地下降约为 $2 \%$.

上一篇：快速求方程的近似解

下一篇：可导与可微的区别

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)