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傅里叶背景4：傅里叶系数三角表示与复指数表示

## 单边谱 －三角形式的傅里叶级数
由[上篇文章](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3164)可知一个周期为 $T$ 的信号 $f(t)$ 在区间 $\left(t_0, t_{0+T}\right)$ 内可以表示为三角函数集的线性组合，即：

f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (n \Omega t)+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin (n \Omega t)

由上篇文章中的系数求解方法可以求得：

$$
\begin{aligned}
& a_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos (n \Omega t) dt \\
& b_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin (n \Omega t) dt
\end{aligned}
$$

如果你看傅里叶展开式，第一项为$\frac{a_0}{2}$ ,这是因为他的通项公式是从$n=1$开始的，如果取$n=0$就会得到$a_0 \cos (0 \Omega t)+ b_0 \sin ( \Omega t)= a_0+0$,而为了在傅里叶级数中直接表示函数的平均值（常数项），我们写成 $A_0=a_0/2$。

因为同频率的两个正余弦函数可以合成一个余弦分量，这样会更利于查看同一频率下的信息，所以令：

$$
A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} \quad \varphi_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}
$$

则这个周期为 $T$ 的信号 $f(t)$ 在区间 $\left(t_0, t_{0+T}\right)$ 内的表示可以转换为：

$$
f(t)={A_0}+\sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos \left(n \Omega t+\varphi_{n}\right)
$$

上式表明，

> **任一周期信号可以表示为一直流分量和一系列谐波分量之和。**

其中 $A_0$ 为直流分量，$A_1 \cos \left(\Omega t+\varphi_1\right)$ 称为基波分量或一次谐波分量，$A_1$ 为**基波振幅**，$\varphi_1$ 为**基波初相位**。以此类推，$A_n \cos \left(n \Omega t+\varphi_{ n }\right)$ 称为 n 次谐波分量，$A_n$ 为 n 次谐波分量的振幅， $\varphi_n$ 为 $n$ 次谐波分量的初相位。

因为 $A_n, \varphi_n$ 下标 $n$ 是从0开始递增的，这便是单边谱的由来，是以完备且正交的三角函数集为基对信号进行＂投影＂得到的系数转化而来的。

## 建立单边谱与双边谱之间的联系所需要的过渡知识
从上面的论述中容易知道，振幅 $A_n$ 和初相位 $\varphi_n$ 与傅里叶系数 $a_n$ 和 $b_n$ 的关系为：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ A _ { n } = \sqrt { a _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ^ { 2 } } } \\
{ \varphi _ { n } = - \operatorname { a r c t a n } \frac { b _ { n } } { a _ { n } } }
\end{array} \text { 及 } \left\{\begin{array}{l}
a_n=A_n \cos \varphi_n \\
b_n=-A_n \sin \varphi_n
\end{array}\right.\right.
$$

若将 $a_n$ 表示为 $g(n), b_n$ 表示为 $h(n)$ ，则有：

$$
\begin{aligned}
& g(n)=a_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos (n \Omega t) dt \\
& h(n)=b_n=\f

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