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傅里叶背景7：单边谱与双边谱

## 单边谱
由[上篇文章](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=909)可知一个周期为 $T$ 的信号 $f(t)$ 在区间 $\left(t_0, t_{0+T}\right)$ 内可以表示为三角函数集的线性组合，即：

f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos (n \Omega t)+\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin (n \Omega t)

由上篇文章中的系数求解方法可以求得：

$$
\begin{aligned}
& a_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos (n \Omega t) dt \\
& b_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin (n \Omega t) dt
\end{aligned}
$$

如果你看傅里叶展开式，第一项为$\frac{a_0}{2}$ ,这是因为他的通项公式是从$n=1$开始的，如果取$n=0$就会得到

$$
a_0 \cos (0 \Omega t)+ b_0 \sin ( \Omega t)= a_0+0
$$

而为了统一在傅里叶级数中直接表示函数的平均值（常数项），我们写成 $A_0=a_0/2$。

因为同频率的两个正余弦函数可以合成一个余弦分量，即 
$$
a\sin x + b\cos x= \sqrt{a^2+b^2}\,\sin\left(x+\varphi\right),\tan\varphi = \frac{b}{a}
$$

这样会更利于查看同一频率下的信息，所以令：

$$
A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} \quad \varphi_n=-\arctan \frac{b_n}{a_n}
$$

则这个周期为 $T$ 的信号 $f(t)$ 在区间 $\left(t_0, t_{0+T}\right)$ 内的表示可以转换为：

$$
f(t)={A_0}+\sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos \left(n \Omega t+\varphi_{n}\right)
$$

上式表明，

> **任一周期信号可以表示为一直流分量和一系列谐波分量之和。**

其中 $A_0$ 为直流分量，$A_1 \cos \left(\Omega t+\varphi_1\right)$ 称为基波分量或一次谐波分量，$A_1$ 为**基波振幅**，$\varphi_1$ 为**基波初相位**。以此类推，$A_n \cos \left(n \Omega t+\varphi_{ n }\right)$ 称为 n 次谐波分量，$A_n$ 为 n 次谐波分量的振幅， $\varphi_n$ 为 $n$ 次谐波分量的初相位。

因为 $A_n, \varphi_n$ 下标 $n$ 是从0开始递增的，这便是单边谱的由来，是以完备且正交的三角函数集为基对信号进行＂投影＂得到的系数转化而来的。

## 建立单边谱与双边谱之间的联系所需要的过渡知识
从上面的论述中容易知道，振幅 $A_n$ 和初相位 $\varphi_n$ 与傅里叶系数 $a_n$ 和 $b_n$ 的关系为：

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ A _ { n } = \sqrt { a _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ^ { 2 } } } \\
{ \varphi _ { n } = - \operatorname { a r c t a n } \frac { b _ { n } } { a _ { n } } }
\end{array} \text { 及 } \left\{\begin{array}{l}
a_n=A_n \cos \varphi_n \\
b_n=-A_n \sin \varphi_n
\end{array}\right.\right.
$$

若将 $a_n$ 表示为 $g(n), b_n$ 表示为 $h(n)$ ，则有：

$$
\begin{aligned}
& g(n)=a_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos (n \Omega t) dt \\
& h(n)=b_n=\frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin (n \Omega t) dt
\end{aligned}
$$

则可以看出 $g(n)$ 是关于 $n$ 的偶函数 , $h(n)$ 是关于 $n$ 的奇函数 ，即：

$$
g(n)=g(-n) ; \quad h(-n)=-h(n)
$$

再把他们表示回来，就是：

$$
a_n=a_{-n} ; \quad b_{-n}=-b_n
$$

可以进一步推导出：

$$
A_n=A_{-n} ; \quad \varphi_{-n}=-\varphi_n
$$

为啥要这么整？推导出来这么个东西有意义吗？有，请接着往下看。

## 双边谱－指数形式的傅里叶级数

[上篇文章](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3164)中介绍了两个最为常用的完备正交函数集，分别是

三角函数集

$\{1, \cos (\Omega t), \cos (2 \Omega t), \ldots, \sin (\Omega t), \sin (2 \Omega t), \ldots\}$

和虚指数函数集 
$\left\{e^{j n \Omega t}, n \in Z\right\}$

它们是两类典型的区间 $\left(t_0, t_0+T\right)(T=2 \pi / \Omega)$ 上的完备的正交函数集。我们上面是将一个周期为 $T$ 的信号 $f(t)$ 在区间 $\left(t_0, t_{0+T}\right)$ 内表示成了三角函数集的线性组合，那么如果将其表示为虚指数函数集的线性组合，则如下式所示：

$$
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n \Omega t}
$$

式中 $F_n$ 可以通过上篇文章中的公式求解

$$
F_n=\frac{\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\left(e^{j n \Omega t}\right)^* d t}{\int_{t_0}^{t_0+T} e^{j n \Omega t}\left(e^{j n \Omega t}\right)^* d t}=\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n \Omega t} d t
$$

这里 $F_n$ 称为复傅里叶系数。因为 $F_n$ 中的下标 $n$ 是从负无穷到正无穷的，固以虚指数函数集为基对信号进行＂投影＂得到的系数便构成了双边谱。

如果把复数的正弦与余弦函数代数傅里叶三角函数式，就可以得到他的复指数形式
$$
\cos n \omega_0 t=\frac{1}{2}\left(e^{j n \omega_0 t}+e^{-j n \omega_0 t}\right), \quad \sin n \omega_0 t=\frac{j}{2}\left(e^{-j n \omega_0 t}-e^{j n \omega_0 t}\right) .
$$

下面将通过欧拉公式推导。

## 单边谱与双边谱的区别和联系
通过世界上最完美的欧拉公式 对 $F_n$ 进行转换，有：

$$
\begin{aligned}
F_n & =\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n \Omega t} d t \\
& =\frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos (n \Omega t) d t-j \cdot \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin (n \Omega t) d t \\
& =\frac{1}{2} a_n-\frac{1}{2} j \cdot b_n \\
& =\frac{1}{2} A_n \cos \varphi_n+\frac{1}{2} j \cdot A_{n} \sin \varphi_n \\
& =\frac{1}{2} A_n e^{j \varphi_n}
\end{aligned}
$$

而这里在下标 $n>0$ 时，上式中的 $A_n, \varphi_n$ 便是单边谱中得到的 $A_n, \varphi_n$ ，即在正频率部分，单边谱对应的幅值是双边谱的两倍，且单边谱与双边谱相位一致。根据上述过渡知识中的公式 $A_n=A_{-n} ; ~ \varphi_{-n}=-\varphi_n$ ，可以知道在下标 $n<0$ 时，双边谱的负频率部分的幅值与双边谱正频率部分的幅值关于 y 轴呈轴对称，而相位关系是关于 0 点呈中心对称。在 0频率处的直流分量，单边谱和双边谱的幅值是一样的（直流分量应不存在相位值的概念，但一般会对此值置零）。
所以，如果计算出了单边谱，只需要进行简单的转换就能转成双边谱，反之亦然。

下图给出某周期信号的单边谱与双边谱，可以很直观的展现出单边谱与双边谱之间的区别与联系：

![图片](/uploads/2025-07/8e5012.jpg)

### 小结
介绍到这里，可以知道单边谱和双边谱仅仅是对同一种东西的两种不同形式的表达，就像是我们用公里可以度量距离，也可以用英里来度量距离一样。而双边谱由于计算起来更方便（后面出的文章中应该能够感受到方便在何处），所以在计算过程中被更广泛的采用。

本文来源[知乎](https://zhuanlan.zhihu.com/p/563059119)

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