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傅里叶背景5：傅里叶变换本质

> **傅里叶变通俗的说就是：任何函数都可以使用正弦加余弦表示**

## 任何图形都可以由正弦加余弦表示
正弦与余弦是常见的最基本的三角函数，如果我说使用正弦和余弦可以生成矩形你信吗？参考下图：

①第一幅图是一个郁闷的正弦波$\cos(x)$
②第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加$\cos(x)+a\cos(3x)$
③第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
④第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

![图片](/uploads/2025-01/a7d2b4.jpg){width=400px}

从这里可以看到，随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，直的都能掰弯！）

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
 ![图片](/uploads/2025-01/9b6e34.jpg)
 
在这2幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。**这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来**，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们称为**频率**分量，由此引入频域

## 频域
对于数轴，数字“1”是有理数轴的基本单元。（数学专业叫法叫做-[基](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=489)）

时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为$\omega_0$的正弦波$\cos(\omega_0 t)$看作基础，那么频域的基本单元就是$\omega_0$。
 
 有了＂ 1 ＂，还要有＂ 0 ＂才能构成世界，那么频域的＂ 0 ＂是什么呢？ $\cos (0 t )$ 就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域， 0 频率也被称为直流分量 ，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状（换句话说，他就像一个晾衣杆，决定晾晒的衣服们是高还是底）。
 
 下图是一个最基本的$sin x$ 的定义
  ![图片](/uploads/2025-01/93c316.jpg)
  
  正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
   ![1.gif](/uploads/2025-01/357cfe.gif){width=400px}
 
##   傅里叶级数频谱-从侧方看
 介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
  ![图片](/uploads/2025-01/394ac9.jpg){width=400px}
  这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是
   ![图片](/uploads/2025-01/c88715.jpg)
   再清楚一点：
   
![图片](/uploads/2025-01/28d1fe.jpg)
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。

## 傅里叶级数相位谱-从下方看
在开始前，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。

先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：

先在纸上画一个 $\sin (x)$ ，不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个 $\sin (3 x)+\sin (5 x)$ 的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把 $\sin (3 x)+\sin (5 x)$ 的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把 $\sin (5 x)$ 给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。

但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条坚线而已。

所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为**滤波**，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术。
下面说相位谱
 ![图片](/uploads/2025-01/2bf9af.jpg)

鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
 ![图片](/uploads/2025-01/657fda.jpg)
 
 这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作 $2 \pi$或者 360 度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘 $2 \pi$ ，就得到了相位差。

在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱 。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。

注意到，相位谱中的相位除了 0 ，就是 $\pi$ 。因为 $\cos ( t + \pi

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