最后更新: 2026-05-29 22:23 查看: 177 次纠错评论(0) 课件开VIP

傅里叶背景6：δ函数的性质(中)★★★★★

## 性质4  δ函数尺度变换（缩放）性质（也叫相似性质）
$$
\boxed{
\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)
}
$$

`例`已知抽样信号 $f(t)=\frac{\sin 2 t}{\pi t}$ 的频谱为

$$
F(\omega)= \begin{cases}1, & |\omega| \leqslant 2, \\ 0, & |\omega|>2 .\end{cases}
$$

求信号 $g(t)=f\left(\frac{t}{2}\right)$ 的频谱 $G(\omega)$ ．
解 由上面公式式可得

$$
G(\omega)=\mathscr{F}[g(t)]=\mathscr{F}\left[f\left(\frac{t}{2}\right)\right]=2 F(2 \omega)= \begin{cases}2, & |\omega| \leqslant 1, \\ 0, & |\omega|>1 .\end{cases}
$$

从图8．11中可以看出，由 $f(t)$ 扩展后的信号 $g(t)$ 变得平缓，频率变低，即频率范围由原来的 $|\omega|<2$ 变为 $|\omega|<1$ ．

![图片](/uploads/2026-05/aea273.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2026-05/30881a.jpg)

### 理解：尺度变换（缩放）性质。
这个性质的核心是：**当我们对δ函数的自变量进行缩放时，它就像一根无限细、无限高的“尖峰”，但缩放会改变这个尖峰的“有效宽度”，从而影响其积分值（即“强度”或“面积”）。**

下面分几个层次来帮助你理解。

### 1. 核心公式

首先，给出δ函数尺度变换的数学公式：
$$
\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)
$$
其中，$a$ 是一个非零的实数常数。

### 2. 直观理解

我们可以从几何和物理两个角度来直观感受这个公式。

-   **几何角度：缩放坐标轴**
    想象你在坐标系中画出了 $\delta(x)$，它在 $x=0$ 处有一个无限高的尖峰。现在，如果你把横坐标轴拉伸（比如将 $x$ 变成 $2x$），原来位于 $x=0$ 的尖峰仍然在 $x=0$，但整个图像的形状会被横向压缩。因为尖峰的面积必须保持不变（始终为1），横向压缩会导致纵向必须拉伸，以维持总面积。公式中的因子 $\frac{1}{|a|}$ 就是为了补偿这种面积变化。

-   **物理角度：脉冲的“强度”**
    你可以把 $\delta(x)$ 想象成一个极短时间内的冲击力，其冲量（即对时间的积分）为1。现在，让时间轴变快（$a > 1$）。这意味着这个冲击发生的时间窗口被压缩了。为了在更短的时间内产生相同的总冲量，冲击的强度就必须变得更大。这个“强度”的变化比例，就是 $\frac{1}{|a|}$。

### 3. 严谨理解：通过积分检验

最权威的理解方式是通过δ函数的**定义**——它必须满足在积分中的筛选性质。

我们想要验证，对于任意一个良好的测试函数 $f(x)$，等式 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) f(x) dx$ 是否等于 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|} \delta(x) f(x) dx$。

**进行变量替换：**
令 $u = ax$，则 $x = u/a$，$dx = du/a$。

分两种情况讨论：

1.  **情况1：$a > 0$**
    积分限不变（$x$ 从 $-\infty$ 到 $\infty$ 对应 $u$ 从 $-\infty$ 到 $\infty$）。
    $$
    \begin{aligned}
    \int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) f(x) dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(u) f\left(\frac{u}{a}\right) \frac{du}{a} \\
    &= \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(u) f\left(\frac{u}{a}\right) du
    \end{aligned}
    $$
    根据δ函数的筛选性质，$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(u) f(u/a) du = f(0/a) = f(0)$。
    所以，上式等于 $\frac{1}{a} f(0)$。

2.  **情况2：$a < 0$**
    此时 $u = ax$ 是一个反方向的变换。当 $x$ 从 $-\infty$ 增加到 $\infty$ 时，$u$ 会从 $\infty$ 减少到 $-\infty$。为了得到正常的从 $-\infty$ 到 $\infty$ 的积分限，我们需要交换上下限，这会引入一个负号。
    $$
    \begin{aligned}
    \int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) f(x) dx &= \int_{u=\infty}^{u=-\infty} \delta(u) f\left(\frac{u}{a}\right) \frac{du}{a} \quad (\text{注意：}dx = du/a, \text{但}a<0) \\
    &= \frac{1}{a} \int_{\infty}^{-\infty} \delta(u) f\left(\frac{u}{a}\right) du \\
    &= -\frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(u) f\left(\frac{u}{a}\right) du
    \end{aligned}
    $$
    因为 $a<0$，$-\frac{1}{a}$ 是正数，并且等于 $\frac{1}{|a|}$。
    同样，筛选性质给出 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(u) f(u/a) du = f(0)$。
    所以，上式等于 $\frac{1}{|a|} f(0)$。

**结论：**
将两种情况合并，我们得到：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(ax) f(x) dx = \frac{1}{|a|} f(0)
$$
而 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|a|} \delta(x) f(x) dx = \frac{1}{|a|} f(0)$。

由于这对所有测试函数 $f$ 都成立，因此在广义函数的意义下，我们可以认为：
$$
\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)
$$

### 4. 举例说明

-   **例子1：时间压缩**
    $\delta(2t)$。这是一个在 $t=0$ 处发生的脉冲，但其“持续时间”是标准δ函数的一半。为了保持总面积为1，它的强度必须是标准δ函数的两倍。所以，$\delta(2t)$ 可以看作是一个强度为 $\frac{1}{2}$ 的脉冲吗？
    **注意：** 公式给出的是 $\delta(2t) = \frac{1}{2} \delta(t)$。
    这意味着，从积分效果来看，$\delta(2t)$ 作用于函数 $f(t)$ 时，等价于半个标准δ脉冲（$\frac{1}{2}\delta(t)$）作用于 $f(t)$。这里的“强度”指的是积分时的权重因子。

-   **例子2：时间反转**
    $\delta(-t)$。当 $a=-1$ 时，公式给出 $\delta(-t) = \frac{1}{|-1|} \delta(t) = \delta(t)$。
    这说明δ函数是**偶函数**。无论时间轴正着走还是反着走，只要是在同一个时刻的脉冲，其效果是完全相同的。这点和普通函数很不一样。

#### 推论
更一般地，如果 $g(x)$ 只有一个单根 $x_0$（即 $g(x_0)=0$ 且 $g'(x_0) \neq 0$）：

$$
\delta(g(x)) = \sum_{i} \frac{\delta(x - x_i)}{|g'(x_i)|}
$$

其中 $x_i$ 是 $g(x)=0$ 的根。

没动的，可以看下面视频来自上海大学教授姜颖，详见 [B站](https://www.bilibili.com/video/BV1ey4y1K7Yg/?p=34&share_source=copy_web&vd_source=dccae6542966b78b35c93e5e66c07a6c)

## 性质5 卷积性质
Delta函数是卷积运算的单位元。
$$
(f * \delta)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(x - t) \, dt = f(x)
$$
$$
\delta * f = f
$$

`例`  讨论 $\delta$ 函数与函数 $f(x)(-\infty<x<\infty)$ 的卷积。
解 首先，$\delta(x)$ 函数与 $f(x)$ 的卷积给出 $f(x)$ 本身

$$
\delta(x) * f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\xi) \delta(x-\xi) \mathrm{d} \xi=f(x)
$$

而 $\delta(x-a)$ 与 $f(x)$ 的卷积为

$$
\delta(x-a) * f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\xi-a) f(x-\xi) \mathrm{d} \xi=f(x-a)
$$

可见卷积结果是将 $f(x)$ 平移了一段距离 $a$ ，如图 3.3 所示。

![图片](/uploads/2026-03/8dbc93.jpg)
 
 两个 $\delta$ 函数的卷积为

$$
\delta(x-a) * \delta(x-b)=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\xi-a) \delta(x-\xi-b) \mathrm{d} \xi=\delta[x-(a+b)]
$$

上述 $\delta$ 函数的卷积性质在计算机运算中是很有用的。

`例`在量子力学中，坐标 $x$ 是一个算符，证明 $\delta$ 函数满足算符 $x$ 的本征方程

$$
x \delta\left(x-x_0\right)=x_0 \delta\left(x-x_0\right)
$$

其中，$x_0$ 是本征值，并进而讨论本征函数 $\delta\left(x-x_0\right)$ 的正交归一性和完备性。
证明

在 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0)$ 左边的积分中取 $f(x)=x$ ，则积分筛选出 $x$ 在 0 的取值，即

$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} x \delta(x) \mathrm{d} x=0
$$

该定积分结果为零有两种可能：一是被积函数 $x \delta(x)=0$ ；二是被积函数 $x \delta(x)$ 随 $x$ 变化在积分区间出现正负面积相等的情况。现在，$x \delta(x)$ 在 0 以外的任何地方为零，不可能出现后一种可能，因此必定有
$$
\boxed{
x \delta(x)=0
}
$$

其中，$x$ 是任意的，现在用 $x-x_0$ 代换其中的 $x$ ，得到

$$
\left(x-x_0\right) \delta\left(x-x_0\right)=0
$$

它给出本征方程

本征函数 $\delta\left(x-x_0\right)$ 对于本征值 $x_0$ 的连续变化，构成了本征函数集合 $\{\delta(x- \left.\left.x_0\right)\right\}$ 。为了讨论本征函数的正交归一性，从集合 $\left\{\delta\left(x-x_0\right)\right\}$ 中取出两个本征函数 $\delta\left(x-x_1\right)$ 和 $\delta\left(x-x_2\right)$ 作积分， 我们得到

$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(x-x_1\right) \delta\left(x-x_2\right) \mathrm{d} x=\delta\left(x_1-x_2\right)
$$

这就是坐标算符 $x$ 的本征函数的正交归一性表达式，由于本征值 $x_0$ 的变化形成了连续谱，积分结果归于 $\delta$ 函数，而不像分立谱情况下归于 $\delta_{m n}$ 符号 
$\delta$ 函数的完备性是

$$
f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\xi) \delta(\xi-x) \mathrm{d} \xi
$$

它表示任意一个连续函数 $f(x)$ 可以按照坐标算符的本征函数集 $\{\delta(\xi-x)\}$ 展开。
 
 
## 性质6  傅里叶变换
Delta函数的傅里叶变换是一个常数（1）：
$$
\mathcal{F}\{\delta(x)\} = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) e^{-ikx} \, dx = 1
$$
反过来，常数1的逆傅里叶变换是Delta函数：
$$
\mathcal{F}^{-1}\{1\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} \, dk = \delta(x)
$$
（注：系数取决于傅里叶变换的定义约定）

## 性质7 乘积性质
对于普通函数 $f(x)$，有：
$$
f(x) \delta(x - a) = f(a) \delta(x - a)
$$
特别地，$x \delta(x) = 0$。

##  性质8. 导数性质
Delta函数的导数 $\delta'(x)$ 也是一个分布，满足：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta'(x - a) \, dx = -f'(a)
$$
更一般地：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{(n)}(x - a) \, dx = (-1)^n f^{(n)}(a)
$$

## 性质9 多维Delta函数
在三维空间中：
$$
\delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) = \delta(x - x_0)\delta(y - y_0)\delta(z - z_0)
$$
且满足：
$$
\int_{V} f(\mathbf{r}) \, \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r}_0) \, dV = \begin{cases} f(\mathbf{r}_0), & \mathbf{r}_0 \in V \\ 0, & \mathbf{r}_0 
otin V \end{cases}
$$

## 性质10. 一些常用积分表达式
Delta函数可以表示为一些函数的极限（例如正态分布的极限）：
$$
\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{\pi \epsilon}} e^{-x^2 / \epsilon}
$$
$$
\delta(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\pi} \frac{\epsilon}{x^2 + \epsilon^2}
$$
$$
\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} \, dk
$$

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