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周期函数的 Fourier 级数

## Fourier 变换的概念
Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算（如求解微分方程，化卷积为乘积等等），又具有非常特殊的物理意义。

因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。

Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。

## 周期函数的 Fourier 级数
1．简谐波的基本概念
**简谐波**

$$
\begin{aligned}
x(t) & =A \cos \left(\omega_0 t+\theta\right) \\
& =a \cdot \cos \omega_0 t+b \cdot \sin \omega_0 t
\end{aligned}
$$

其中， $A$ 称为**振幅**，$\omega_0$ 称为**角频率**，
$\theta$ 称为**相位**，$( \theta =0$ 称为零相位）。
$T=\frac{2 \pi}{\omega_0}$ 为基本周期；（单位：秒）
$F=\frac{1}{T}=\frac{\omega_0}{2 \pi}$ 为频率。（单位：赫兹 Hz ）

## 正交函数系
$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l } 
{ \varphi _ { 0 } ( t ) = 1 } \\
{ \varphi _ { 1 } ( t ) = \operatorname { c o s } \omega _ { 0 } t } \\
{ \varphi _ { 2 } ( t ) = \operatorname { c o s } 2 \omega _ { 0 } t } \\
{ \ldots \ldots \ldots \ldots } \\
{ \varphi _ { n } ( t ) = \operatorname { c o s } n \omega _ { 0 } t } \\
{ \ldots \ldots \ldots \ldots }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\psi_1(t)=\sin \omega_0 t \\
\psi_2(t)=\sin 2 \omega_0 t \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \\
\psi_n(t)=\sin n \omega_0 t \\
\ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}\right.\right. \\
& \left\{1, \cos \omega_0 t, \sin \omega_0 t, \cos 2 \omega_0 t, \sin 2 \omega_0 t, \ldots \ldots\right\}
\end{aligned}
$$

特点（1）周期性 
$\varphi_k(t+T)=\varphi_k(t), k=0,1,2, \cdots \ldots$
$\psi_k(t+T)=\psi_k(t), k=1,2, \cdots \cdots$
其中，$T=2 \pi / \omega_0$ ．

（2）正交性

$$
\begin{aligned}
& \int_{-T 2}^{T / 2} \varphi_m(t) \cdot \psi_n(t) d t=0, \\
& \int_{-T / 2}^{T / 2} \varphi_k(t) \cdot \varphi_l(t) d t=0, \quad(k \neq l) \\
& \int_{-T 2}^{T / 2} \psi_k(t) \cdot \psi_l(t) d t=0,
\end{aligned}
$$

由 $\left\{\varphi_k(t)\right\},\left\{\psi_k(t)\right\}$ 组合叠加可以生成周期为 $T$ 的复杂波。

## 周期函数的 Fourier 变换证明
定理 设 $f(z)$ 以 $T$ 为周期，在 $[0, T]$ 上满足 Dirichlet 条件，
则 $f(z)$ 的 Fourier 变换为

$$
F(\omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F\left(n \omega_0\right) \delta\left(\omega-n \omega_0\right)
$$

其中，$\omega_0=2 \pi / T, F\left(n \omega_0\right)$ 是 $f(z)$ 的离散频谱。
证明 由 $f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F\left(n \omega_0\right) e ^{j n \omega_0 t}$ 有

$$
\begin{aligned}
F(\omega) & =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F\left(n \omega_0\right) \int_{-\infty}^{+\infty} e ^{j n \omega_0 t} \cdot e^{-j n \omega t} d t \\
& =2 \pi \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F\left(n \omega_0\right) \delta\left(\omega-n \omega_0\right) .
\end{aligned}
$$

其他版本
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