最后更新: 2025-01-20 08:39 ● 参与者查看: 198 次纠错分享参与项目词条搜索

Fourier 级数的三角形式

## Fourier 级数的三角形式
### Dirichlet 定理
设 $f_T(t)$ 是以 $T$ 为周期的实值函数，且在区间 $[-T / 2, T / 2]$ 上满足如下条件（称为Dirichlet条件）：
（1）连续或只有有限个第一类间断点；
（2）只有有限个极值点．
则在 $f_T(t)$ 的连续点处有

$$
\boxed{
f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n \cos n \omega_0 t+b_n \sin n \omega_0 t\right)
} ...(A)
$$

在 $f_T(t)$ 的间断处，上式左端为 $\frac{1}{2}\left[f_T(t+0)+f_T(t-0)\right]$ ．

其中，

$$
\begin{aligned}
& a_n=\frac{2}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f_T(t) \cos n \omega_0 t d t, \quad n=0,1,2, \cdots \\
& b_n=\frac{2}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f_T(t) \sin n \omega_0 t d t, \quad n=1,2, \cdots \\
& \omega_0=\frac{2 \pi}{T}, \text { 称之为基频。 }
\end{aligned}
$$

**定义** 称（A）式为 Fourier 级数的三角形式。

## Fourier 级数的物理含义

在上面(A)式里，令
$A_0=\frac{a_0}{2}, A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}, $

$\cos \theta_n=\frac{a_n}{A_n}, \quad \sin \theta_n=\frac{-b_n}{A_n}$

则（A）式变为 
 $$
 \boxed{
 f_T(t)=A_0+\sum_{n=1}^{+\infty} A_n \cos \left(n \omega_0 t+\theta_n\right)
 }
 $$
 ![图片](/uploads/2025-01/ccc4c3.jpg)

上式表明 **周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和**，这些简谐波的（角）频率分别为一个基频 $\omega_0$ 的倍数。

**意义** 认为＂一个周期为 $T$ 的周期信号 $f_T(t)$ 并不包含所有的频率成份，其频率是以基频 $\omega_0$ 为间隔离散取值的。＂ 
这是周期信号的一个非常重要的特点。

**振幅** $A_n$ 反映了频率为 $n \omega_0$ 的简谐波在信号 $f_T(t)$ 中所占有的份额；

**相位** $\theta_n$ 反映了在信号 $f _{ T }( t )$ 中频率为 $n \omega _0$ 的简谐波沿时间轴移动的大小。

这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。

上一篇：周期函数的 Fourier 级数

下一篇： Fourier 级数的指数形式

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)