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复变函数与积分变换
第七篇 傅里叶变换
Fourier 级数的指数形式
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2025-01-20 08:47
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Fourier 级数的指数形式
## Fourier 级数的指数形式 根据傅里叶级数的三角形式可以推导出傅里叶级数的指数形式。 (复数在数学里用$i$表示，在工业里使用$j$，下面都用$j$表示) ### 推导 已知 $f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n \cos n \omega_0 t+b_n \sin n \omega_0 t\right)$ ...(A) ， 根据 Euler 公式 $e ^{ j n \omega_0 t}=\cos n \omega_0 t+j \sin n \omega_0 t,(j=\sqrt{-1})$ 可得 $\cos n \omega_0 t=\frac{ e ^{j n \omega_0 t}+ e ^{-j n \omega_0 t}}{2}, \sin n \omega_0 t=\frac{-j e ^{j n \omega_0 t}+j e ^{-j n \omega_0 t}}{2}$代入（A）式并整理得 $$ f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_n-j b_n}{2} e^{j n \omega_0 t}+\frac{a_n+j b_n}{2} e^{-j n \omega_0 t}\right) $$ 令 $c_0=\frac{a_0}{2}, c_n=\frac{a_n-j b_n}{2}, c_{-n}=\frac{a_n+j b_n}{2}$ ，则有 $$ \boxed{ f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{j n \omega_0 t} ...(B) } $$ 其中，$c_n=\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f_T(t) e ^{-j n \omega_0 t} d t, \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ **定义** 称（B）式为 Fourier 级数的指数形式。 注意（1）分解式是惟一的。 （2）计算系数 $c_n$ 时，其中的积分可以在任意一个长度为 $T$ 的区间上进行。 （3）采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。
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