最后更新: 2025-01-20 09:13 查看: 220 次反馈刷题

离散频谱与频谱图

## 离散频谱与频谱图
根据傅里叶级数的指数形式

$$
\boxed{
f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{j n \omega_0 t}
 ...(B)
}
$$

分析 由 $c_0=\frac{a_0}{2}, c_n=\frac{a_n-j b_n}{2}, c_{-n}=\frac{a_n+j b_n}{2}$ ，
得 $c_0=A_0,\left|c_n\right|=\left|c_{-n}\right|=\frac{1}{2} \sqrt{a_n^2+b_n^2}=\frac{A_n}{2}$ ，

$$
\arg c_n=-\arg c_{-n}=\theta_n, \quad(n>0)
$$

即 $c_n$ 的模与辐角正好是振幅和相位。

![图片](/uploads/2025-01/5fd79f.jpg)

**定义** 称 $\left|c_n\right|$ 为振幅谱，称 $\arg c_n$ 为相位谱；
称 $c_n$ 为频谱，记为 $F \left( n \omega_0\right)=c_n$ ．

## 频谱图

将振幅 $\left|c_n\right|$ ，相位 $\arg c_n$ 与频率 $n \omega_0$ 的关系画成图形。
 ![图片](/uploads/2025-01/1e141d.jpg)
 
 `例` 设函数 $f_T(t)$ 以 $T=2 \pi$ 为周期，在 $[0,2 \pi]$ 上 $f_T(t)=t$ ．求它的离散频谱及其 Fourier 级数的指数形式．
  ![图片](/uploads/2025-01/29387a.jpg)
  
  解 基频 $\omega_0=\frac{2 \pi}{T}=1$ ．
（1）当 $n=0$ 时，

$$
\begin{aligned}
c_0=F(0) & =\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f_T(t) d t=\frac{1}{T} \int_0^T f_T(t) d t \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} t d t=\pi
\end{aligned}
$$

(2) 当 $ n \neq 0 $ 时
 
 $$
 \begin{aligned}
c_n=F\left(n \omega_0\right) & =\frac{1}{T} \int_{-T / 2}^{T / 2} f_T(t) e^{-j n \omega_0 t} d t=\frac{1}{T} \int_0^T f_T(t) e^{-j n \omega_0 t} d t \\
& =\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} t e^{-j n t} d t=\frac{1}{-2 n \pi j} \int_0^{2 \pi} t de^{-j n t} \\
& =\left.\frac{1}{-2 n \pi j} t e^{-j n t}\right|_0 ^{2 \pi}+\frac{1}{2 n \pi j} \int_0^{2 \pi} e^{-j n t} d t=\frac{j}{n}
\end{aligned}
$$

（3）$f_T(t)$ 的 Fourier 级数为 $f_T(t)=\pi+\sum_{\substack{n=-\infty \\ n \neq 0}}^{+\infty} \frac{j}{n} e ^{j n t}$ ．
（4）振幅谱为 $\left|F\left(n \omega_0\right)\right|=\left\{\begin{array}{cc}\pi, & n=0, \\ 1 /|n|, & n \neq 0 .\end{array}\right.$
相位谱为 $\arg F\left(n \omega_0\right)=\left\{\begin{array}{cc}0, & n=0, \\ \pi / 2, & n>0, \\ -\pi / 2, & n<0 .\end{array}\right.$

(5) 频谱图如下图所示。

![图片](/uploads/2025-01/3c1557.jpg)

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