最后更新: 2026-01-03 08:24 查看: 509 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

正态抽样的均值与方差★★★★★

## 三大分布概况
在学习本节前，把上面学的四个分布列出来：
（1）正态分布，这是使用最多的分布，$ Z \sim N(\mu,\sigma)$
（2）一群正态分布之和为卡方分布，即 $\chi^2(n)=X_1^2+X_2^2+...+X_N^2 \sim \chi_n^2$
（3）设随机变量 $ X \sim N(0,1), Y \sim \chi_n^2  $ 则 $t(n) \sim \frac{X}{\sqrt{Y / n}} $ 服从t分布
（4）$X \sim \chi_m^2, ~ Y \sim \chi_n^2$  则 $F \sim\frac{X / m}{Y / n}$ 服从F分布

由四个分布对应的常见见下表。

![图片](/uploads/2025-12/f14e9a.jpg)
 
 
  ![图片](/uploads/2026-01/b17c07.jpg)
  
## 正态抽样分布
统计量所服从的分布称为**抽样分布**，由于统计推断就是基于统计量及其抽样分布建立的，因此研究抽样分布是数理统计的重要内容之一．由于正态分布的常见性，来自正态总体的样本均值和样本方差的抽样分布是应用十分广泛的抽样分布，为此引入**正态总体的抽样分布**。

设总体 $X$ 的均值为 $\mu$ ，方差为 $\sigma^2$ （注意：这里$X$可以是任意分布，不一定非要是正态分布，只要有均值和方差即可）, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自 $X$ 的一个样本， $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别为该样本的样本均值与样本方差，则有

均值的期望： $E(\bar{X})=\mu$
均值的方差： $ D(\bar{X})=\sigma^2 / n$
方差的期望：
$$
\begin{gathered}
E\left(S^2\right)=E\left[\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2-n \bar{X}^2\right)\right]=\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^n E\left(X_i^2\right)-n E\left(\bar{X}^2\right)\right] \\
=\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^n\left(\sigma^2+\mu^2\right)-n\left(\sigma^2 / n+\mu^2\right)\right]=\sigma^2 .
\end{gathered}
$$

详细 推到请参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=565)

进一步，如果$X$服从正态分布，则有以下定义。

##   定理一
$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本，则有：
统计量：样本均值的期望＝总体的期望，记为：$E(\bar{X})=E(X)=\mu$
统计量：样本均值的方差＝总体方差的 $\frac{1}{n}$ ，记为：$D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}=\frac{\sigma^2}{n}$
均值呈现正态分布：即 $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) .$

### 推论
上面的结论  $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)  $ ，把他当做一般的正态分布，然后进行[正态分布标准化](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1566)  就可以有如下结论：
$$
\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1) .
$$

即：均值减去期望 除以 方差除以$\sqrt{n}$ 服从标准正态分布。

### 定理解释
上面定理是什么意思呢？假设班级里有50人，我们知道学生身高服从正态分布，现在为了估算学生的身高，我随机从班级里抽取5人，身高分别为：$165,164,163,163,165$
有这些身高，我可以计算出样本的均值为 
$E(\bar{X})=(165+164+163+163+165)/5=164$
进而可以估算出全班学生的平均身高为$E(X)=164$

请注意：这个定理告诉我们，**用样本的均值当做整体的均值是OK的** ，因此写成 $E(\bar{X})=E(X)=\mu$

再来看方差，样本方差分别是$1,0,-1,-1,1$, 所以方差为
$\sigma^2=\frac45$

从这里看，样本均值的方差整体上变小，如何理解这句话呢？仍以抽样学生身高为例，我们使用5个人来估算全班50人的身高，毫无疑问，如果你抽样的学生身高越多，那么样本误差就越小。比如，我只抽取两个人，结果这两个人是班级里最高的男生和最低的男生，那么此时样本误差就最大，如果我抽取20人，因为**样本点多了，就抹平了极端数据带来的影响，所以误差就越小，即方差就越小**。这就是方差除以n的意思，相当于“抚平”了极端数据带来的波动。

`例`  某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装 500 mL ，但是在实际罐装的过程中，总会出现一定的误差，误差要求控制在一定范围内．假定灌装量的方差 $\sigma^2=1$ ，如果每箱装 25 瓶这样的洗洁

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