最后更新: 2026-01-03 11:12 查看: 453 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

F分布★★★★★

> 假设车间生产了一批螺丝，你想检验这些产品质量情况，你随机抽查了一些螺丝，此时就可以使用统计抽样的四大分布是：正态分布、卡方分布、t分布和F分布，他们分别对应 Z检验、卡方检验、t检验和F检验。 如果你抽查的样本比较多(n>30)优先使用**Z检验**(对应[正态分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=532))，如果抽查样本比较少(n<20)则使用**t检验**(对应[t分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=568))，如果你想比较两个机床生产的螺丝质量差异则使用**F检验**(对应[F分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=569))。如果想分析螺丝质量和原材料质量的关系则使用**χ²卡方检验**(对应[卡方分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=567))

> χ²分布、t分布、F分布的主要用途，其实不是拿来用于自然现象的建模，而是用于假设检验用的。只有正态分布既可以进行建模又可以进行检验

## F 分布的引入
从一个小故事：厨艺大赛的“水平稳定度”比赛讲起。
假设有两个厨师（A和B），我们想比较谁做菜**发挥更稳定**（而不是比谁更好吃）。

**步骤：**
1. 让A厨师连续做10道菜，记录每道菜的得分。然后计算这10个得分的波动程度（专业上叫“方差”）。
2. 同样，让B厨师连续做8道菜，计算他得分的波动程度。
3. 比较两人的稳定性，我们用：
   
 > **波动比 = A厨师的波动程度 ÷ B厨师的波动程度**

这个比值就是我们要看的数字。

**关键点：**
 如果两个厨师水平稳定度差不多，这个比值应该在1附近。
 如果A明显更不稳定，比值会远大于1。
 如果B明显更不稳定，比值会远小于1。

但问题是，即使两人真实水平稳定度相同，因为随机因素（比如火候偶然不稳），我们算出的比值也不会总是等于1，**有时候是1.2，有时候是0.8，有时候是3.0**……

**那么问题来了：**
> 我们得到的这个比值，要多大才能说明A确实比B更不稳定，而不是偶然运气导致的？

这时候 **F分布** 就登场了。

> F分布就是“在两人真实稳定度一样时，这个比值的正常随机波动范围说明书”

F分布会告诉我们：如果两个厨师实际稳定度完全相同（只是抽样运气不同），那么这个“波动比”大概率会落在哪个区间。

比如：自由度为(9,7)的F分布说：在两人实际稳定度一样的情况下，100次比赛里，大概95次这个比值在0.18到3.68之间。
如果我们实际算出的比值是 **5.0**，超出了3.68，那就有理由怀疑A可能真的比B更不稳定（只有不到5%的概率是偶然得到这么大的比值）。

这里：
**自由度(9,7)** 来自：A的样本数10 → 波动程度计算的有效比较次数是9（=10-1）；B的样本数8 → 有效比较次数是7。
 这些数字就像比赛的“规则参数”，不同参数对应不同的“正常波动范围表”。

###   F分布的定义
**F分布** 是两个独立的卡方分布随机变量除以各自自由度后的比值的分布。

具体来说：
若  
 $ U_1 \sim \chi^2_{m} $（自由度为 $m$ 的卡方分布）  
 $ U_2 \sim \chi^2_{n} $（自由度为 $n$ 的卡方分布）  
 且 $U_1$ 与 $U_2$ 独立

则随机变量
$$
F = \frac{U_1 / m}{U_2 / n}
$$
服从**自由度为 $ (m, n) $** 的 F 分布，记作
$$
F \sim F(m, n)
$$
其中：
 $m$ 称为**分子自由度**（或第一自由度）
 $n$ 称为**分母自由度**（或第二自由度）

## F分布的定义
**定义**：设随机变量 $X \sim \chi^2(m), Y \sim \chi^2(n)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立， 则称 $F = \frac{X / m}{Y / n}$ 服从第一自由度为 $m$ ，第二自由度为 $n$ 的分布， 记为 $F \sim \mathrm{F}(m, n)$.

> **F分布通常定义为：两个独立的卡方分布随机变量各自除以其自由度后的比值所服从的分布。**

> F分布就像一把“随机波动标尺”，用来判断我们观察到的“差异比”是否大到了不正常的地步，从而推断差异是否真实存在。
它本质上是一个“**比率**”的分布，专门处理“两个方差比较”或“多组均值比较”时，排除随机干扰的裁判工具(请结合最后例子来理解)。

F分布是由英国统计学家罗纳德·艾尔默·费舍尔（Ronald Aylmer Fisher）于1924年首次提出并系统阐述的。所以这一分布以他姓氏的首字母“F”命名，以表彰其开创性贡献。美国统计学家乔治·W·斯内德科尔（George W. Snedecor）在后续推广和应用中也发挥了关键作用，因此该分布有时也被称为Fisher-Snedecor分布

咦，有没有感觉奇怪？F分布没有密度函数，为什么？ 因为表达式太长了，基本上没有存在的意义，就这么着吧，直接使用定义。这也说明，密度函数（比如指数分布，伽玛分布，正态分布）都看起来非常吓人，其实，那都是数学家拟合出来的，没有密度函数，照样可以建模。

## F分布的作用

F分布广泛应用在**方差分析**、**回归分析显著性检验**以及**两正态总体方差比**的推断里

F分布用于检验方差是否不同，本质用于分析两个方差是否相等的问题。它的构造是基于正态分布的样本方差的比值来定义的。具体来说，假设有两个样本$x_1,x_2,...x_m$和$y_1,y_2,....y_n$，其中${x_i}$和${y_i}$都是从正态分布中独立随机选取的。根据定义，我们可以计算出两个样本的样本方差$s^2x$和$s^2y$，然后计算它们的比值：$F=\frac{s^2x}{s^2y}$。这里的$F$即为$F$分布随机变量，其自由度分别为$m$和$n$。

$F$分布仅在两个方差相等满足对称性，若方差不等，$F$分布会呈现左右偏斜的特征。因此，F分布的本质是描述了两个正态分布的方差是否相等的问题，这是一个比例分布。F分布可用来进行方差分析，回归方程系数的检验。
下图显示F分布的图像。

![图片](/uploads/2025-02/b43be9.svg){width=500px}
 
不同自由度的F分布图

![图片](/uploads/2025-06/baac23.jpg)

## F分布的自由度是$n$还是$n-1$
如果你学习了卡方分布或者t分布应该很容易理解这个问题。
见的说，如果题目只说是F分布，则自由度是$n_1,n_2$， 如果题目说是方差检验，则自由度是$n_1-1,n_2-1$

F分布的核心是**两个独立卡方变量的比值**，可以理解为：
- 取两个服从卡方分布的独立随机变量 $X_1 \sim \chi^2(n_1)$ 和 $X_2 \sim \chi^2(n_2)$
- 构造新的随机变量 $F = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2}$
- 这个随机变量 $F$ 就服从**第一自由度为 $n_1$，第二自由度为 $n_2$**的F分布，记作 $F \sim F(n_1,n_2)$

简单来说，F分布描述的是**“两个样本方差的比值”**的概率分布，用于判断两组数据的方差是否存在显著差异。

`例`简单例题（两个总体方差的比较）
**问题**：随机抽取两组数据，第一组样本量 $

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