最后更新: 2025-11-22 15:26 查看: 645 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲线的弧长★★★★★

## 曲线的弧长
在平面几何中，直线的长度容易计算，而除了圆弧以外的曲线长度的计算就比较困难，现在将讨论这一问题.
圆周长是用圆内接多边形的周长，当边数无限增加时的极限来确定. 一般平面曲线弧长的计算也可运用这一思想.

### 平面曲线的弧长的概念
设 $A B$ 为曲线弧 $A B$ 上的两个端点，任取分点 $A=M_0, M_1, \cdots, M_n=B \in A B$ ， 并依次连接相邻員点得内接折线 (见图 3-49)，其长度为 $\sum_{i=1}^n\left|\overline{M_{i-1} M_i}\right|$.
 当分点无限增多时，和式 $\sum_{i=1}^n\left|\overline{M_{i-1} M_i}\right|$ 的极限存在，则称此极限为曲线弧 $A B$ 的 弧长. 此时称 $A B$ 是可求长的. 对此我们 有如下结论：
**定理** 光滑曲线弧是可求长的.

下面我们就来探讨光滑曲线弧长的计算公式.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230f43574f.png)

## 直角坐标系中的弧长公式
设函数 $f(x)$ 具有一阶连续导数，曲线弧由 $y=f(x)(a \leq x \leq b)$ 给出，任取 $x \in[a, b]$ ，过 $x$ 作 曲线的切线，设 $x$ 对应曲线上的点 $M(x, y)$ ， $x+\Delta x(x+\mathrm{d} x)$ 对应曲线上的点 $N(x+\Delta x, y+\Delta y)$ ， 对应着切线上的点 $P(x+\mathrm{d} x, y+\mathrm{d} y)$,
区间 $[x, x+\Delta x]$ 对应着小弧段 $M N$ ，记小弧段 $M N$ 长度为 $\Delta s$, 记切线 $\overline{M P}$ 的长度为 $\mathrm{d} s$ (见图 3-50),

![图片](/uploads/2022-12/image_202212301df86c8.png)

由微分的几何意义可知，当 $\Delta x$ 足够小时, 可以用切线段 $\overline{M P}$ 近似替代弧段 $M N$ ，所以 $\Delta s$ 的近似值即为弧长微元

$$
\mathrm{d} s=\sqrt{(\mathrm{d} x)^2+(\mathrm{d} y)^2}=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x ，
$$

因此所求弧长为

$$ \boxed{
s=\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x .
}
$$

由 $s \geq 0$ ，要求 $a<b$.

> 这个公式告诉我们，要求曲线的弧长，只要求出他的导数$f'(x)$，然后带入上式即可。

`例` 求曲线 $y=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 上相应于 $x$ 从 1 到 2 的一段弧的长度.
解 曲线由直角坐标方程给出，取 $x$ 为积分变量， $y^{\prime}=x^{\frac{1}{2}}$, 弧长微元为

$$
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{1+x} \mathrm{~d} x,
$$

所求弧长为

$$
s=\int_0^1 \sqrt{1+x} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3}\left[2^{\frac{3}{2}}-1\right] .
$$

`例` 求悬链线 $y=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 从 $x=0$ 到 $x=a \quad(a>0)$ 那一段的弧长．

![图片](/uploads/2025-09/62b06a.jpg){width=200px}

解 由 $y=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ ，得弧长

$$
s=\int_0^a \sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x=\int_0^a \frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^a-\mathrm{e}^{-a}\right)
$$

## 参数方程的弧长公式
设曲线弧由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}(\alpha \leq t \leq \beta)\right.$ 给出，其中 $\varphi(t), \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有连

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：平行截面面积为已知的立体的体积

下一篇：定积分在物理上的应用举例

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)